ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА

Значение ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

аналитическая локальная группа,- аналитическое многообразие Gнад полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения, снабженное отмеченным элементом е(единицей), открытым подмножеством и парой аналитич. отображений многообразия окрестности Uв себя, для которых:

1) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество ge=eg;

2) в некоторой окрестности точки евыполняется тождество

3,) для некоторой окрестности точки евыполняется включение причем g(hr)=(gh)r, где g, h, r - любые элементы из V.

Ли л. г. впервые появились в трудах С. Ли (S. Lie) и его школы (см. [1]) как локальные Ли, группы преобразований.

Пусть G₁ и G₂- две Ли л. г. с единицами е ₁ н е ₂ соответственно. Локальным гомоморфизмом G₁ в G₂ (обозначается ) наз. аналитич. отображение нек-рой окрестности в G₁, для к-рого f(e₁)=e₂ и f(gh)=f(g)f(h).для g, h из нек-рой окрестности точки е ₁. Определяемая естественным образом композиция локальных гомоморфизмов также есть локальный гомоморфизм. Локальные гомоморфизмы совпадающие в нек-рой окрестности точки е ₁ наз. эквивалентными. Если существуют такие локальные гомоморфизмы и что композиции эквивалентны тождественным отображениям, то Ли л. г. G₁ и G₂ наз. эквивалентными.

Пример. Пусть - аналитич. руппа с единицей е к G - открытая окрестность точки ев Тогда аналитич. структура на индуцирует аналитич. структуру на G, причем операции умножения и взятия обратного элемента в превращают G в Ли л. г. (в частности, сама может рассматриваться как Ли л. г.). Все Ли л. г. G, получаемые таким способом из фиксированной аналитич. руппы эквивалентны между собой.

Один из принципиальных вопросов теории групп Ли состоит в том, насколько общий характер имеет приведенный выше пример, т. е. будет ли всякая Ли л. г. (с точностью до эквивалентности) окрестностью нек-рой аналитич. руппы. Ответ на этот вопрос положителен (см. [2], [3], [4]), в случае банаховых Ли л. г. ответ отрицателен (см. [4J).

Важнейшим средством изучения Ли л. <г. является сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли. А именно, пусть G - Ли л. г. над полем kи е - ее единица. Выбор карты с аналитич. многообразия G в точке епозволяет отождествить нек-рую окрестность точки е в G с нек-рой окрестностью Uнуля в re-мерном координатном пространстве kⁿ, так что Uстановится Ли л. г. Пусть U₀- такая окрестность нуля в Ли л. г. U, что для любых х,определено произведение Тогда в координатной форме умножение в Ли л. г. Uв окрестности U₀ задается паналитич. функциями

где

- соответственно координаты точек В достаточно малой окрестности нуля функция f_i представляется в виде суммы сходящегося степенного ряда (также обозначаемого далее через f_i), а наличие в Uединицы и ассоциативного закона выражается следующими свойствами этих рядов, рассматриваемых как формальные степенные ряды от 2n переменных:

Свойства а) н о) означают, что система формальных степенных рядов является формальной группой. В частности, однородная компонента степени 2 каждого из рядов f_i является билинейной формой на kⁿ, т. е. имеет вид

что позволяет определить на kⁿ умножение [ , ] по правилу:

Относительно этого умножения kⁿ является алгеброй Ли. Указанная структура алгебры Ли переносится в касательное пространство к многообразию G в точке ес помощью определенного картой с изоморфизма Формальные группы F_c и F_c', определенные разными картами, изоморфны, а указанная структура алгебры Ли на не зависит от выбора карты с. Алгебра Ли наз. алгеброй Ли локальной группы Л и. Для любого локального гомоморфизма Ли л. г. его дифференциал в единице является гомоморфизмом алгебр Ли, откуда следует, что сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли является функториальным. В частности, эквивалентные Ли л. г. имеют изоморфные алгебры Ли.

Если поле kимеет характеристику 0, указанная выше конструкция, восходящая к С. Ли [1], позволяет свести изучение свойств Ли л. г. к изучению соответствующих свойств их алгебр Ли. В этом случае алгебра Ли g определяет Ли л. г. G однозначно с точностью до эквивалентности. А именно, карта сможет быть выбрана так, что произведение ху в Ли л. г. Uвыражается в виде нек-рого сходящегося ряда (т. н. ряда Кэмпбелла - Хаусдорфа) от элементов пространства kⁿ, полученных из х к у с помощью операции коммутирования [ , ] и умножения на элементы из k(см. Кэмпбелла - Хаусдорфа формула). Обратно, для произвольной конечномерной алгебры Ли над kряд Кэмпбелла - Хаусдорфа сходится в нек-рой окрестности нуля в и определяет в этой окрестности структуру Ли л. г. с алгеброй Ли Таким образом, для любой заданной алгебры Ли существует единственная с точностью до эквивалентности Ли л. г., алгеброй Ли к-рой является Более того, всякий гомоморфизм алгебр Ли индуцирован нек-рым единственным гомоморфизмом соответствующих Ли л. г. Иначе говоря, сопоставление Ли л. г. ее алгебры Ли определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории конечномерных алгебр Ли над k. Кроме того, сопоставление Ли л. г. соответствующей формальной группы определяет эквивалентность категории Ли л. г. и категории формальных групп над k.

Алгебра Ли может быть определена и для любой банаховой Ли л. г.; основной результат об эквивалентности категорий Ли л. г. и алгебр Ли обобщается на этот случай (см. [2]).

Лит.:[1] L i e S., E n g е 1 P., Theorie der Transformationsgruppen, Bd 1-3, Lpz., 1888-93; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [4] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [5] Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М.- Л., 1940. В. <Л. Попов.