ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА

Значение ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

- компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. Ли к. г. могут быть охарактеризованы как конечномерные локально связные компактные топологич. группы.

Если G⁰ - связная компонента единицы Ли к. г. С, то группа связных компонент G/G⁰ конечна. Собственно к теории групп Ли относится изучение строения связных Ли к. г.

Следующие примеры связных Ли к. г. играют важную роль в общей структурной теории Ли к. г .

1) Мультипликативная группа Т ¹ всех комплексных чисел, равных по модулю 1.

2) Группа SU(n) всех комплексных унитарных матриц порядка пс определителем 1.

3) Группа SO (n).всех вещественных ортогональных матриц порядка пс определителем 1.

4) Группа Sp (n) всех матриц для к-рых

Т- знак транспонирования и 1_n - единичная матрица порядка п.

Полная классификация связных Ли к. г. была получена в трудах Э. Картана [1] и Г. Вейля [2]. Она состоит в следующем.

Имеются два основных типа связных Ли к _: г.

1) С в я з н ы е коммутативные Ли к. г.

Это в точности торы, т. е. группы вида

2) Связные полупростые Ли к. г. (см. Ли полупростая группа). Если G- связная полупростая Ли к. г., то универсальная накрывающая группа группы Gтакже является Ли к. г. (теорема Beйля). Центр Zгруппы конечен, а все связные группы Ли, локально изоморфные G, компактны и исчерпываются с точностью до изоморфизма группами вида G/D, где Алгебры Ли полупростых Ли к. г. могут быть внутренне охарактеризованы среди всех конечномерных вещественных алгебр Ли как алгебры с отрицательно определенной Киллинга формой.

Указанные два основных типа связных Ли к. г. определяют строение произвольных связных Ли к. г. А именно, последние с точностью до изоморфизма исчерпываются всевозможными факторгруппами вида где G - связная односвязная Ли к. г. с центром Z, Т - тор, a D - конечная подгруппа в группе пересекающаяся с Тлишь по единице. Алгебры Ли произвольных Ли к. г. также могут быть внутренне охарактеризованы среди всех конечномерных вещественных алгебр Ли: это в точности алгебры Ли g, обладающие таким положительно определенным скалярным произведением ( ,), что " " для любых Они наз. компактными алгебрами Ли.

Таким образом, классификация связных Ли к. г. сводится к классификации связных односвязных полупростых Ли к. г. (или, что то же, полупростых компактных алгебр Ли) и описанию их центров. Оказывается, что полупростые компактные алгебры Ли находятся во взаимно однозначном соответствии с полупростыми комплексными алгебрами Ли (и тем самым с приведенными корневыми системами). А именно, если - полупро-стай компактная алгебра Ли, то ее комплексификация полупроста. Обратно, в любой полупростой алгебре Ли над существует, и притом единственная с точностью до сопряженности, компактная вещественная форма. В частности, окончательный результат классификации простых компактных алгебр Ли и соответствующих им связных односвязных Ли к. г. таков. Имеется 4 бесконечных серии т. н. классических простых компактных алгебр Л и, соответствующих следующим сериям неприводимых приведенных систем корней: Это соответственно алгебры Ли групп Кроме них имеется еще лишь пять т. н. исключительных простых компактных алгебр Ли, соответствующих системам корней типов G₂, F₄, Е₆, Е₇ и E₈. Всякая компактная простая алгебра Ли изоморфна одной из этих алгебр Ли, а сами они попарно неизоморфны друг другу. Ли к. г. SU(n) и Sp(n), связны и односвязны. Группа SO (n), , связна, но неодносвязна. Ее универсальная накрывающая наз. спинорной Л и к. г. и обозначается Spin (n). Центры связных односвязных полупростых Ли к. г. совпадают с центрами соответствующих односвязных комплексных групп Ли (см. Ли полупростая группа). Всякая Ли к. г. допускает точное линейное представление; образ такого представления является вещественной алгебраич. группой. Любая Ли к. г. Gобладает комплексификацией (см. Комплексификация группы

Ли). При этом является комплексной редуктивной алгебраич. группой, аффинная алгебра A_G к-рой может быть описана как алгебра всех представляющих функций на G, т. е. таких непрерывных комлекснозначных функций, что линейная оболочка сдвигов f на элементы из G конечномерна. Алгебра A_G обладает естественной вещественной структурой и потому определяет нек-рую алгебраич. группу над Вещественные точки этой группы образуют G, а комплексные - Группа G является максимальной компактной подгруппой в В результате получается взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных Ли к. г. и редуктивных алгебраич. групп над

Всякая Ли к. г. является вещественной аналитич. руппой. Комплексные компактные аналитич. руппы наз. также комплексными Ли к. г. Всякая связная комплексная Ли к. г. (как комплексная группа Ли) изоморфна комплексному тору где Г - дискретная подгруппа ранга 2га в и (как вещественная группа Ли) изоморфна Т ²ⁿ. Два комплексных тора изоморфны (как комплексные группы Ли) тогда и только тогда, когда Г ₂=g(Г ₁) для нек-рого

Лит.:[1]Кар тан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949; [2] В е й л ь Г., "Успехи матем. наук", 1938, в. 4, с. 201-46; [3] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [4] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [5] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [6] Н а й м а р к М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [7] В и н б е р г Э. Б., Онищик А. Л., Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. 1967/68, М., 1969; [8] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [9] С е р р Ж.- П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [10] Адаме Д ж., Лекции по группам Ли, пер. с англ., М., 1979. В. Л. Попов.