АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Значение АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ в математической энциклопедии:

теоретико-числовая функция,- комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебранч. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это - А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рымн специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: - Эйлера функция, или - делителей число, - Мёбиуса функция, - Манголъдта функция, - сумма делителей числа п. К А. ф. относят также целую часть числа и дробную часть числа . Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., - число решений в целых числах . уравнения в Гольдбаха проблеме: - число решений в простых числах уравнения Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция - число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; - число не превосходящих хпростых чисел в арифметич. прогрессии Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: - сумма натуральных логарифмов простых чисел до и В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента.

Напр., в алгебраич. поле Кстепени пдля целого идеала вводится функция Эйлера - число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с

А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А. <ф. обычно не удается охарактеризовать простыми формулами - ищется асимптотика числовых функций. Так как многие А. ф. не монотонны, то большое значение имеет изучение средних значений функций. Важный класс А. ф. составляют мультипликативные арифметические функции и аддитивные арифметические функции. В вероятностной теории чисел изучается вопрос о распределении их значений [5].

Лит.:[1] Виноградов И. М.,Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [2] его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. е .нем., М., 1964; [4] Чандрасек харан К., Арифметические функции, пер. с англ., М., 1975; [5] Кубилю с И., Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962.

Н. И. Климов.