ЛАПЛАСА ТЕОРЕМА

Значение ЛАПЛАСА ТЕОРЕМА в математической энциклопедии:

- 1) Л. т. об определителях - см. ст. Алгебраическое дополнение.

2) Л. т. об аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением; первый вариант центральной предельной теоремы теории вероятностей: если S_n - число "успехов" в п Бернулли испытаниях с вероятностью успеха р,0<р<1, то при для любых действительных чисел xi и х ₂ (х ₁<.г ₂)

- функция распределения стандартного нормального закона. Самостоятельное значение имеет т. н. локальная Л. т.: для вероятности

справедливо равенство

где

- плотность стандартного нормального распределения и равномерно для всех т, для к-рых

принадлежит какому-либо конечному интервалу.

В общем виде Л. т. была доказана П. Лапласом [1]. Один частный случай Л. т. (р=1/2) был изучен А. Му-авром [2], в связи с чем Л. т. иногда наз. теоремой Муавра - Лапласа. Для практич. применения Л. т. важно иметь представление об ошибках, возникающих при использовании приближенных формул. В более точной (по сравнению с [1]) асимптотич. формуле

остаточный член R_n(y). имеет порядок равномерно для всех действительных у. Из равномерных аппроксимаций биномиального распределения посредством нормального распределения наиболее удачна формула Я. Успенского (1937): если то для любых (/! и у ₂

Для улучшения относительной точности аппроксимации С. Н. Бернштейном (1943) и В. Феллером (W. Feller, 1945) были предложены другие формулы.

Лит.:[1] L а р 1 а с е P. S., Theerie analytique des probabi-lites, P., 1812; [2] М о i v r e A. d e, Miscellanea analytica de serlebus et quadraturis, L., 1730; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] F е 1 1 е г W., "Ann. Math. Statistics", 1945, v. 16, p. 319-29; [5] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967. А. В. Прохоров.