ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

Значение ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ в математической энциклопедии:

механики - обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг-ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1-го рода, или уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и 2-го рода, или уравнения в обобщенных лагранжевых координатах.

Л. у. 1-го рода описывают движения как голономных систем, стесненных только геометрич. связями вида так и неголономных систем, на к-рые наложены, помимо связей (1), кинематич. связи вида

где - декартовы координаты и скорости точек, N - число точек системы, t - время, - масса р- йточки, имеющей координаты. Связи (1) и (2) предполагаются независимыми, т. е. ранги матриц равны соответственно kи т.

Л. у. 1-го рода имеют вид

где - неопределенные множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей, - проекции на оси координат заданных активных сил, причем сила F_p действующая на р- юточку, имеет проекции

К дифференциальным уравнениям (3) надлежит присоединить k+m уравнений (1) и (2), в результате чего получается система 3N+k+т уравнений с таким же числом неизвестных Л. у. 1-го рода на практике обычно применяются для систем с небольшим числом неизвестных.

Л. у. 2-го рода описывают движения лишь голономных систем, стесненных связями вида (1). Введением в рассмотрение n=3N-k независимых обобщенных лагранжевых координат q_i, с помощью к-рых любое возможное положение системы может быть получено при нек-рых значениях q_i из равенств

обращающих уравнения (1) в тождества, устанавливается для каждого tвзаимно однозначное соответствие между возможными положениями системы и точками нек-рой области n-мерного конфигурационного пространства (q₁, .., q_n). В случае стационарных связей (1) всегда возможно выбрать переменные д;так, что время tне будет входить в уравнения (4). Далее записываются с помощью уравнений (4) выражения для суммы элементарных работ всех активных сил F_p на возможных перемещениях системы

и кинетич. энергии системы

Здесь

- обобщенная сила, соответствующая координате - однородные степени s формы обобщенных скоростей q_i, причем

В случае стационарных связей Т= Т ₂. Л. у. 2-го рода имеют вид

Уравнения (5) представляют собой систему га обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с неизвестными q_i. Они инвариантны по форме относительно выбора лагранжевых координат. Эта система уравнений движения имеет наименьший возможный порядок 2n. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (5) реакций связей, состоит большое преимущество уравнений (5) по сравнению с Л. у. 1-го рода (3). После интегрирования системы (5) реакции связей могут быть определены из уравнений, выражающих второй закон Ньютона для точек системы.

В случае потенциальных обобщенных сил, когда существует силовая функция такая, что уравнения (5) принимают вид

где носит название функции Лагранжа, или кинетич. потенциала.

Если или - то уравнения (6) допускают обобщенный интеграл энергии

или циклический интеграл

соответствующий циклической координате q_а.

Лит.:[1] Lagrange J., Мeсаniquе analytique, P., 1788 (рус. пер.- Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, 2 изд., т. 1, М.- Л., 1950). В. В. Румянцев.