АРГУМЕНТА ПРИНЦИП

Значение АРГУМЕНТА ПРИНЦИП в математической энциклопедии:

геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть - ограниченная область на комплексной плоскости , причем граница является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с ; если функция мероморфиа в окрестности н на не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей и числом полюсов в (с учетом кратностей) равна деленному на приращению аргумента при положительном обходе , т. е.

где обозначает какую-либо непрерывную ветвь на кривой . Выражение справа равно индексу кривой относительно точки А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. н. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия - Руше теоремы.

Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности в окрестности можно заменить следующим: имеет в конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на . Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную рпмаиову поверхность, при этом ограниченность заменяется условием, что

- компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на Сэквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если мероморфна в окрестности области , ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и на не имеет нулей и полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестности , справедливо равенство:

где первая сумма распространяется на все нули, а вторая - на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений непрерывно продолжающихся на и таких, что

Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть - ограниченная область в с жор-дановой границей и есть отображение, голоморфное в окрестности и такое, что ; тогда число прообразов 0 в (с учетом кратностей) равно .

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] IIIабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. М. Чирка.