" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КЮННЕТА ФОРМУЛА

Значение КЮННЕТА ФОРМУЛА в математической энциклопедии:

- формула, выражающая гомологии (или когомологии) тензорного произведения комплексов или прямого произведения пространств через гомологии (когомологии) сомножителей.

Пусть - ассоциативное кольцо с единицей, Аи С - цепные комплексы соответственно правых и левых -модулей. Пусть - комплекс, ассоциированный с тензорным произведением комплексов Аи Снад Если

то имеет место точная последовательность градуированных модулей

где а - гомоморфизм степени 0, a b - степени -1 (см. [2]). Для конечных комплексов имеется аналогичная точная последовательность с гомоморфизмом b степени +1. Если (напр., Аили С - плоский -модуль) и наследственно, то последовательность (1) существует и расщепляется [2], [3], так что

Эта формула наз. формулой Кюннета; иногда формулой, или соотношением, Кюннета называют и точную последовательность (1). Имеет место обобщение формулы (1), в к-ром тензорное произведение заменяется произвольным двойным функтором Т( А, С).на категории -модулей со значениями в той же категории, ковариантным по каждому аргументу. Рассматривается также случай функтора Т, ковариант-ного по Аи контравариантного по С. В частности, функтор приводит к формуле, выражающей когомологии Н*( Нот( А, С)), где А - правый цепной, а С - левый коцепной комплексы над через а именно, если наследственно и (напр., Асвободен), то имеет место расщепляемая точная последовательность

где b' - гомоморфизм степени 0, а b' - степени +1 (см. [2], [3]).

Пусть X, Y - топологич. Пространства, a L, М - модули над кольцом главных идеалов R, причем Tor₁(L, M) = 0. Тогда сингулярные гомологии пространств связаны следующей расщепляемой точной последовательностью

где a - гомоморфизм степени 0, а b - степени -1. Если предположить дополнительно, что либо все и либо все и М конечно порождены, то аналогичная точная последовательность имеется для сингулярных когомологий:

причем a - гомоморфизм степени 0, а b - степени + 1. Например., если R - поле, то

а если при этом все или все конечномерны, то

Имеются также аналогичные формулы для относительных гомологии и когомологий [3], [4].

В случае L=M=R модуль обладает структурой косого тензорного произведения алгебр, при этом a - гомоморфизм алгебр. Таким образом, если и все или все конечно порождены, то имеет место изоморфизм алгебр [3]:

В случае, когда Xи Y - конечные полиэдры, К. ф. позволяет найти числа Бетти и коэффициенты кручения полиэдра через аналогичные инварианты полиэдров Xи Y. Именно эти результаты были получены самим Г. Кюннетом [1]. В частности, если есть k-e число Бетти полиэдра Xи

- многочлен Пуанкаре полиэдра X, то

В теории когомологий со значениями в пучке имеется следующий вариант К. ф. [6]. Пусть Xи Y - топологич. пространства со счетными базами, и - пучки Фреше на Xи Y(см. Когерентный аналитический пучок), И пусть . (или ) - ядерный п у ч о к (т. е. - ядерное пространство для всех открытых ). Тогда на определен пучок Фреше такой, что где - знак пополненного тензорного произведения, а открыты. Если пространства . и отделимы, то справедлива К. ф.

В частности, когерентные аналитич. учки на комплексных аналитич. ространствах X, Y со счетными базами являются ядерными и

где - аналитические обратные образы пучков и при проекциях Таким образом, если отделимы, то

В алгебраической геометрии К. ф. обычно встречаются в таком варианте. Пусть Xи Y - алгебраические многообразия над полем k, а - когерентные алгебраич. пучки на Xи Yсоответственно. Тогда [9]:

Здесь - пучок на модули сечений которого над (U - открытое аффинное подмножество в X, V - в У) суть

Более общо, пусть - морфиз-мы в категории схем, - их расслоенное произведение, - квазикогерентные пучки модулей на Xи Y. Обобщая конструкцию пучка _ можно ввести пучки модулей модули сечения которых для аффинных S, X и Y изоморфны

Тогда существуют [7] две спектральные последовательности ( Е ^r).и ('Е ^r).с начальными членами

имеющие один и тот же предел. Эта громоздкая формулировка К. ф. приобретает более привычный вид в терминах производных функторов [11]:

Если пучок или является плоским над S, то спектральная последовательность ( Е ^r).вырождается. Аналогично, ('Е ^r).вырождается, если все (или все ) плоские над S. Если обе спектральные последовательности ( Е ^r).и (' Е ^r).вырождаются, то К. ф. приобретает вид

К. ф. имеется и для этальных пучков A-модулей на схемах Xи У, где А - конечное кольцо. Ее можно записать в виде

где ! означает, что когомологий берутся с компактными носителями. В частности (см. [8]), для полных алгебраич. многообразий Xи Y К. ф. для l-адических когомологий имеет вид

Для произвольных многообразий такая формула доказана лишь в предположении о возможности разрешения особенностей, напр., для многообразий надполем нулевой характеристики.

Вариант К. ф. имеется и в K-теории. Пусть X- такое пространство, что группа К*(X).конечно порождена, и пусть Y - клеточное пространство. Тогда имеет место точная последовательность Z₂ -градуированных модулей

где a - гомоморфизм степени 0, a b - степени 1 (см. [5]). Частным случаем этого утверждения является Ботта теорема периодичности для комплексных расслоений. Известна также К. ф. в теории бордизмов [10].

Лит.:[1] Kunneth H., "Math. Ann.", 1923, Bd 90, S. 65-85; 1924, Bd 91, S. 125-34; [2] К a p т а н А., Э й л е н б е р г С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] Д о л ь д А. Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [4] С п е н ь е р Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] А т ь я М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [6] К а и р L., "Math. Z.", 1967, Bd 97, № 2, S. 158-68; [7] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometrie algebrique, ch. 3, pt. 2, P., 1963. (Publ. Math. IHES, № 17); [8] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, t. 3, В.- [a. o.], 1973; [9] S a m p s о n J., W a s h n i t z e r G., "111. J. Math.", 1959, v. 3, № 3, p. 389-402; [10] Коннер Э., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [11] Harts borne R., Residues and duality, В.- Hdlb.- N. Y., 1966. В. И. Данилов, А, Л. Онищик.