" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КРУПНЫХ ЧАСТИЦ МЕТОД

Значение КРУПНЫХ ЧАСТИЦ МЕТОД в математической энциклопедии:

- метод для расчета сжимаемых течении сплошной среды [1]. К. ч. м. основывается на расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений по физическим процессам (см. [3]). Им решается эволюционная система уравнений. Допускается стационарное решение в результате установления. К. ч. м. является развитием метода "частиц в ячейках" Харлоу. К. ч. м. широко используется для исследования аэрогазодинамич. течений, дифракционных задач, трансзвуковых потоков, явлений взаимодействия излучения с веществом и др.

Разностная схема К. ч. м. может быть описана на примере движения идеального сжимаемого газа (уравнения неразрывности, импульса и энергии):

Здесь - время, - плотность, = - скорость, Е - полная удельная энергия, Р - давление. Для замыкания системы (1) используется уравнение состояния

где

- внутренняя удельная энергия.

Процесс решения эволюционной системы (1) разбивается на шаги по времени, каждый из к-рых состоит из трех этапов: эйлерова, лагранжева и заключительного. Вначале рассматривается изменение внутреннего состояния подсистемы - "крупной частицы" (эйлеров этап), а затем - перемещение этой подсистемы без изменения внутреннего состояния (лагранжев и заключительный этапы).

Эйлеров этап. Область интегрирования покрывается неподвижной (эйлеровой) разностной сеткой произвольной формы [для краткости изложения рассматривается прямоугольная сетка в двумерной (плоской) области (см. рис.)]. На этом этапе расчета изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а жидкость предполагается моментально заторможенной.

Поэтому конвективные члены вида соответствующие эффектам перемещения, из уравнений (1) опускаются. В оставшихся уравнениях (1) выносится из-под знака дифференциала, и уравнения (1) разрешаются относительно временных производных от u, v, Е:

Простейшая конечноразностная аппроксимация (центральные разности) приводит к следующим выражениям:

Здесь величины с дробными индексами относятся к границам ячеек, напр.

- промежуточные значения параметров потока, полученные в предположении "замороженности" поля р на слое Хотя схема эйлерова этапа в данном виде неустойчива, при определенных формах записи последующих этапов вся схема в целом - устойчива. Устойчивости эйлерова этапа можно достигнуть, напр., путем введения в него элементов интегральных соотношений метода. При этом аппроксимация подинтегральных функций производится в направлении, параллельном оси тела (см. рис.), т. е. как в схеме i метода интегральных соотношений: исходная система уравнений берется в интегральном виде, в ней аппроксимируются интегралы

Лагранжев этап. На данном этапе находятся при потоки массы через границы ячеек. При этом полагают, что масса крупной частицы переносится только за счет нормальной к границе составляющей скорости. Так, напр.,

и т. д. Знак < > определяет параметры и ина границе ячейки. Выбор этих величин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность счета. Возможны различные разностные представления для разного порядка точности, с учетом и без учета направления потока, центральные разности, ZIР-аппроксимации и т. д. Потоки импульса (энергии) равны произведению на соответствующие значения скорости (полной удельной энергии). Проводились также аппроксимации не только потоков массы, но и потоков импульса и энергии.

Заключительный этап. На этом этапе находятся окончательные поля эйлеровых параметров потока в момент Уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы М, импульса и полной энергии E, записанные для данной ячейки (крупной частицы) в разностной форме

М ^п+1=

Окончательные значения параметров потока на следующем временном слое вычисляются по формулам (поток течет слева направо и снизу вверх):

Консервативность и полную дивергентность разностной схемы (схема дивергентно-консервативная) обеспечивает уравнение для полной энергии Е. На заключительном этапе (в случае использования дискретной модели среды) целесообразно производить дополнительный пересчет плотности, что сглаживает флуктуации и повышает точность вычислений. Комбинируя различные представления этапов, получают серию разностных схем К. ч. м., что позволяет осуществить широкий класс численных экспериментов.

К. ч. м. допускает трактовку с различных точек зрения: метод расщепления, смешанный эйлерово-лагранжевый метод, расчет в локально лагранжевых координатах (эйлеров этап) с пересчетом на прежнюю сетку (лагранжев и заключительный этапы), разностная запись законов сохранения для элемента жидкости - "крупной частицы", эйлерова разностная схема.

Граничные условия ставятся с помощью рядов фиктивных ячеек (чтобы каждую расчетную точку сделать внутренней и сохранить единый алгоритм для всех ячеек). Для схемы 1-го порядка аппроксимации достаточно одного слоя, для 2-го порядка - два слоя и т. д. Пусть, напр., рассматривается задача о расчете обтекания осесимметричных и плоских тел с образующей произвольной формы (см. рис.). Приведенные ранее расчетные формулы справедливы для внутренних ячеек поля, со всех сторон окруженных жидкостью, и для ячеек, прилегающих к твердому телу, контур к-рого совпадает с границами ячеек.

Прп расчете обтекания тел конечноразностными методами можно использовать два подхода: расчет в координатах s, и; введение в рассмотрение дробных ячеек (см. [2]). В первом случае затруднительно рассчитывать тела с изломами и с вогнутостями. Второй подход свободен от этих недостатков.

Граничные условия на теле в случае дробных ячеек ставятся, как и в случае целых ячеек, с помощью введения фиктивных ячеек. Внутри тела формируется слой фиктивных ячеек, прилегающих к дробным ячейкам. Для определения параметров газа в этих фиктивных ячейках из центра фиктивной ячейки а на контур тела опускают нормаль и в точке их пересечения Апроводят касательную k-k(см. рис.). Затем в поле течения строят нек-рую ячейку b симметричную данной фиктивной ячейке aотносительно касательной k-k. Газодинамич. параметры g в ячейке определяют путем "взвешивания" где суммирование производится по тем ячейкам г, часть площади к-рых попала в ячейку Постановка условий непротекания требует для каждой фиктивной ячейки задания еще одного параметра угла наклона радиус-вектора, пересекающего контур тела в точке А. При использовании условий прилипания (обе компоненты скорости при переходе через поверхность тела меняют знак) не требуется задания дополнительного параметра Параметры газа в фиктивной ячейке а тогда будут

Граничные условия для тела, контур к-рого совпадает с границами ячеек, являются частным случаем изложенных здесь граничных условий.

Для каждой дробной ячейки (см. рис.) необходимо знать 5 геометрич. характеристик: где - доля объема дробной ячейки по отношению к объему полной ячейки - часть площади стороны открытой для течения жидкости, и т. п.

Размещение твердой границы внутри ячейки вносит две особенности: оно смещает центр масс из геометрич. центра ячейки ближе к границе и уменьшает реальные размеры ячейки. При рассмотрении как целых, так и дробных ячеек все параметры потока относятся к центру массы. Именно между центрами масс производится интерполяция газодинамич. функций. В случае целых ячеек центр масс либо совпадает с геометрич. центром ячеек (плоская декартова система координат), либо близок к нему (цилиндрич. система координат). В реальных расчетах разница даже для прилегающего к оси ряда ячеек не превышает В результаты расчетов это обстоятельство не вносит существенных искажений. При надлежащем введении дробных ячеек смещение центра массы относительно геометрич. центра также не превышает этой величины. Более серьезным является вопрос, связанный с уменьшением эффективных размеров ячейки. Чтобы при уменьшении размеров ячейки не нарушалось условие устойчивости где l-x или у, ячейки с присоединяются к соседним целым ячейкам внутри потока и полученные комплексы рассчитываются по формулам дробных ячеек. В этом случае геометрич. размеры укрупненной ячейки не меньше размеров целой ячейки: поэтому вопрос об устойчивости дробных ячеек снят.

В плоском случае геометрич. характеристики дробных ячеек можно получить непосредственным измерением. В осесимметричном случае необходимо произвести дополнительный пересчет с учетом расстояния данной дробной ячейки до оси симметрии. Разностные формулы для дробных ячеек получаются путем незначительного изменения разностных выражений для целых ячеек.

Исследование разностных схем К. ч. м. (аппроксимации, вязкостных эффектов, устойчивости) проводилось с помощью дифференциальных приближений (см. [4]). Проведено обобщение К. <ч. <м. на пространственно-трехмерный случай.

Лит.:[1] Б е л о ц е р к о в с к и й О. М., Давыдов Ю. М., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1971, т. 11, К1, с. 182-207; [2] Д а в ы д о в Ю. М., там же, № 4,с. 1056- 63; [3] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, Новосиб., 1973; [4] Б е л о ц е р к о в с к и й О. М., Давыдов Ю. М., Исследование схем метода "крупных частиц" с помощью дифференциальных приближений, в кн.: Проблемы прикладной математики и механики, М., 1971, с. 145-55. Ю. М. Давыдов.