КРОНЕКЕРА ТЕОРЕМА

Значение КРОНЕКЕРА ТЕОРЕМА в математической энциклопедии:

пусть даны для того чтобы при любом существовали целые числа такие, что

необходимо и достаточно, чтобы для любых таких

что

число

также было целым. Эта теорема была доказана в 1884 Л. Кронекером (см. [1]).

К. т. является частным случаем следующей теоремы, описывающей замыкание подгруппы тора порожденной элементами это замыкание состоит в точности из таких классов что для любых чисел таких, что

выполнено

В условиях К. т. указанное замыкание совпадает со всем Tⁿ. Это означает, что подгруппа элементов вида

где плотпа в а подгруппа векторов вида

где плотна в К. т. можно вывести из теории двойственности для коммутативных топологических групп [3].

В случае m=1 К. т. превращается в следующее утверждение: для того чтобы класс где порождал Tⁿ как топологич. группу, необходимо и достаточно, чтобы числа были линейно независимы над полем рациональных чисел. В частности, тор Tⁿ как топологич. группа м о н о т е т и ч е н, т. е. порождается одним элементом.

Лит.:[1] К г о п е с k е г L., Werke, Bd 3, Halbbd 1, Lpz., 1899; [2] Бурбаки Н., Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; [3] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973. А. Л. Онищип.