КОПРИСОЕДИНЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Значение КОПРИСОЕДИНЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ в математической энциклопедии:

представление группы Ли G, контрагредиентное к присоединенному представлениюAd этой группы. К. п. действует в пространстве g*, дуальном к пространству алгебры Ли g группы G.

Если G - вещественная матричная группа, т. е. подгруппа в GL (n,R), то g - подпространство в пространстве Mat_n (R) вещественных матриц порядка n.

Пусть g^{^} - ортогональное дополнение к g относительно билинейной формы

V - какое-нибудь подпространство в Mat_n(R), дополнительное к g^{^}, P - оператор проектирования на Vпараллельно g^{^}. Тогда g* отождествляется с Vи К. п. задается формулой

Соответствующее представление алгебры g также наз. К. п. В рассматриваемом случае оно имеет вид

К. п. играет основную роль в орбит методе (см. [2]). Каждая G-орбита Wв К. п. несет на себе каноническую G-инвариантную гамильтонову структуру (см. Гамильтонова система). Другими словами, на каждой орбите Wимеется однозначно определенная невырожденная G-инвариантная замкнутая дифференциальная 2-форма B_W (откуда все G-орбиты в К. п. четномерны). Явное выражение для B_W можно получить следующим образом. Пусть FО g*,W - орбита, проходящая через точку F, а x и h - касательные векторы к W в точке F. Найдутся такие Xи Yиз g, что

Тогда

Для каждого XОg векторное поле x_X(F)=K(X)Fявляется гамильтоновым относительно B_W;в качестве его производящей функции (генератора) можно взять элемент X, рассматриваемый как линейная функция на g*. Стабилизатор точки, орбита которой имеет максимальную размерность в К. п., коммутативен [1]. Возникающие на каждой орбите скобки Пуассона порождают единую скобку Березина, задающую структуру Ли локальной алгебры в пространстве гладких функций на g* (см. [3]). Координатное выражение этой скобки имеет вид

где с ^r_ij - структурные константы алгебры Ли д.

Лит.:[1] В е г n a t Р. [и др.], Representations des groupes de Lie resolubles, P., 1972; [2] К и р и л л о в А. А., Элементы (теории представлений, М., 1972; [3] его же, "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 4, с. 57-76. А. А. Кириллов.