КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Значение КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ в математической энциклопедии:

- задачи распределения деформации и напряжения в системе твердых тел, имеющих общие участки границ (поверхности соприкосновения). В общей постановке результаты по контактной задаче (к. з.) ограничиваются теоремами существования и нек-рыми приближенными способами решения. Более полные результаты относятся к тому случаю, когда одно из контактирующих тел является упругой полуплоскостью (или полупространством), а другое - абсолютно жестким телом, вдавливаемым в полуплоскость (полупространство) заданными силами (задачи о штампах). Вне основания штампа, приходящего в соприкосновение с упругим телом, на границе последнего граничные условия могут задаваться, из числа допустимых, произвольно, а на участке под штампом граничные условия формулируются в зависимости от характера контакта. Так, если упругое тело жестко сцеплено с прижимаемым к нему твердым телом, под штампом могут считаться заданными перемещения; если же допускается скольжение упругого тела по контактной поверхности жесткого штампа, то под штампом известны нормальная составляющая перемещения и нек-рое линейное соотношение между нормальным и касательным напряжением, зависящее от коэффициента трения (закон Кулона). Могут реализоваться и другие граничные условия. Все случаи упругого полупространства (полуплоскости) приводят к смешанной задаче с различными граничными условиями на различных участках границы. Развитие методов решения этих задач, включая тот случаи, когда оба контактирующих тела являются упругими, составляет содержание работ, посвященных задачам о штампах. Эти методы близки друг другу и в плоской задаче, в конечном счете, сводятся к методу сопряжения кусочно голоморфных функций (метод задачи Римана - Гильберта), с помощью к-рого к. з. решаются в квадратурах. Задача о соприкосновении двух упругих тел в трехмерном случае была впервые поставлена и решена Г. Герцем (Н. Hertz), к-рый считал площадку соприкосновения весьма малой, а уравнения недеформированных поверхностей вблизи места соприкосновения - уравнениями поверхностей 2-го порядка. При этом оказалось возможным воспользоваться одной Электростали, аналогией, и функция, выражающая давление на участке контакта, была найдена в виде электростатич. потенциала нек-рого эллипсоида. В плоском случае задача Герца приводится к уравнению Фредгольма 1-го рода

где p(t)- искомое давление одного тела на другое в точке tучастка соприкосновения ab,a f(t).- заданная функция; эта же задача приводится к разрешимому в замкнутом виде сингулярному интегральному уравнению.

В общей постановке к. з. формулируются следующим образом.

Задача I. Пусть в бесконечном изотропном упругом теле с постоянными Ламе l₀, m₀ имеются тупругих изотропных изолированных включений с постоянными l_k,m_k, k=l, ... , т, ограниченных гладкими поверхностями S_k произвольной конфигурации. Считая включения жестко сцепленными с основной средой вдоль контактных поверхностей S_k, требуется определить напряженное состояние тела под влиянием заданных объемных сил.

Задача II. В конечном изотропном упругом теле с произвольной гладкой границей S₀ и постоянными l₀, m₀ имеется тупругих изотропных изолированных включений, ограниченных поверхностями S_k, k=1,... . т, жестко сцепленных с несущей средой вдоль S_k. Требуется найти упругое состояние тела, возникающее под действием заданных объемных сил и заданных граничных условий на S₀.

Эти же задачи ставятся для анизотропных тел, а также при других допущениях относительно характера контактов вдоль S_k,k=l, ... , т. Для указанных задач доказаны теоремы существования, в изотропном случае - методом сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнении, для анизотропных тел - методами функционального анализа.

В изотропном случае найдены также способы приближенного решения в квадратурах. Пусть х, у- точки трехмерного пространства Е ₃, D_k- область, ограниченная поверхностью = Г ^k(x-у)- матрица размера фундаментальных решений для области D_k,k=1, ... , т, Г ⁰ (х-у).- та же матрица для области D^-, и(х)- вектор смещения в точке х, Т- оператор напряжения, Ти (х)- вектор напряжения, соответствующий смещению ив точке х, p=1, 2, 3,- вектор напряжения, соответствующий смещению в области D_k для ТГ ^k (х-у)- матрица размера составленная из р=1, 2, 3, как из столбцов, (ТГ ^k(x-у))'- союзная матрица; М ^k( х, у )и М ⁰( х, у)- прямоугольные матрицы размера определенные следующим образом

Задача I, без ограничения общности, есть задача об определении смещения из условий

Пусть значения пределов с обеих сторон контактных границ для и(х)и Ти (х)обозначены через и(у), Ти (у),

тогда для регулярного решения:

где

для и d_k (х)=0 для а d(x)=0 для xU^m_i=1D_i и d(x)=2 для Формулы (1) могут быть записаны в виде:

где l(у)=(и(у), Ти (у))- шестимерный вектор. Первое из этих равенств верно для всех х, принадлежащих а второе - для всех х, принадлежащих Соответствующие произвольно заданные значения переменной хприводят к бесконечному множеству равенств

Пусть - множество шестимерных векторов

соответственно пронумерованное, напр., по диагональному правилу. Это множество линейно независимо и полно в В левых частях равенств (2) стоят скалярные произведения (l, jⁿ). для любого значения индекса пв качестве составляющих заданных векторов и, следовательно, эти произведения также заданы. Вследствие полноты в неизвестный вектор l=( и, Ти )может быть аппроксимирован линейной комбинацией если постоянные найдены из условия минимума нормы

Это приводит к системе линейных алгебраич. уравнений

к-рая разрешима. N-e- приближение l^N (у)для вектора l(у)выражается формулой

Подстановка первых трех составляющих l^N (у), как вектора, вместо и(у), а вторых трех составляющих вместо Ти (у). под интегралами в (1), приводит к приближенному решению в квадратурах задачи I. Точное решение есть равномерный при предел приближенного в произвольной внутренней точке области.

Формулы для решения задачи II остаются теми же, с одним изменением: вместо матрицы Г ⁰ (х-у)используется тензор Грина для полной области, ограниченной поверхностью S₀, соответствующей заданным на S₀ граничным условиям.

Лит.:[1] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; [2] Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости, М., 1953; [3] Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости, М.- Л, 1949; [4] Купрадзе В. Д. и д р., Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости, 2 изд., М., 1976; [5] Фикера Г., Теоремы существования в теории упругости, пер. с англ., М., 1974.

В. Д. Купрадзе.