" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ

Значение КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ в математической энциклопедии:

- раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках x_k=x₀+kh(h - постоянная, к- целое). Тогда

- (конечные) разности первого порядка,

- разности второго порядка, ... ,

- разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу:

Разность n-го порядка через величины у ₀, у₁,... выражается формулой:

Наряду с разностями вперед Dy_k употребляются разности назад:

В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: к-рые определяются следующим образом:

Между центральными dⁿy_l. и обычными разностями Dⁿy_k имеется связь

В случае, когда промежутки х _k+1- х _k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности:

Имеет место формула

Иногда вместо [ х ₀; х ₁;... ; х _п] употребляется обозначение f(x₀; х ₁; ...; х _п). Если x_n=x₀+nh, n=0, 1, 2, ... , то

Если функция f(x)в интервале x_k<х<x_k+n имеет n-ю производную fⁿ (х), то

К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х ₀, х ₁, . .., х _п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах - в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид:

а в случае равноотстоящих значений независимого переменного:

Функцию f(х)принимают приближенно равной Р _п{х). Если f(x)имеет n+1 производную, то ошибка от замены f(x)на Р _п (х)оценивается соотношением

где x, лежит в интервале, в к-ром находятся точки х, х ₀, ... , хД. В случае, если f(x)- многочлен степени

то f(x) = P_n(x). При неограниченном увеличении числа узлов интерполяции многочлен Р _п (х)становится в пределе многочленом Р(х)"бесконечной" степени и естественно возникает вопрос: когда f(x)-P(x), т. е. когда будет выполняться равенство

(для простоты рассматривается случай равноотстоящих узлов). Пусть х ₀=0, h=i, так что x_n=n(n>0). Если ряд (1) сходится в точке а, отличной от узлов (ряд (1) всегда сходится в узлах х ₀, x₁ . ..), то он сходится в полуплоскости Re x>a и представляет собой в этой полуплоскости аналитич. функцию, к-рая в полуплоскости удовлетворяет условию (e>0):

Обратно, если f(x)аналитична в нек-рой полуплоскости и имеет оценку роста, подобную указанной (несколько лучше ее), то она представляется рядом (1). Таким образом, в ряд (1) (так наз. ряд Ньютона) разлагаются функции из весьма узкого класса (только аналитич. функции с определенным ростом). Изучаются ряды Ньютона, когда узлы - вообще комплексные числа. Такие ряды нашли большое применение в теории трансцендентных чисел. Пусть теперь узлы интерполяции образуют треугольную матрицу

и интерполяционный многочлен Р _п (х)строится по узлам, расположенным в (n+1)-й строчке. Класе функций, для к-рых Р _п (х)стремится к f(x)при зависит от матрицы узлов. Напр., в случае, когда

(x _п, k- корни Чебышева многочлена), для сходимости интерполяционного процесса на отрезке [ -1,1] достаточно выполнения условия

где w(d) - непрерывности модуль f (х)на [ -1,1].

Другая важная задача К. р. и - задача суммирования функций. Пусть дана нек-рая функция f(x). Требуется найти в конечном виде, точно или приближенно, сумму

при фиксированных х ₀ и hи большом п, если известны нек-рые аналитич. свойства f(x). Иначе говоря, исследуется асимптотич. поведение S_n при Пусть х ₀=0, h=i (для простоты) и найдена функция F(x)такая, что

Тогда

Напр., пусть f(x)=x². Решение уравнения (2) ищется в виде многочлена третьей степени

с неопределенными коэффициентами. При подстановке в уравнение (2) и приравнивании коэффициентов левой и правой частей при соответствующих степенях многочлен имеет вид:

и

Не всегда удается в конечном виде получить решение уравнения (2). Поэтому полезно иметь приближенные формулы для S _п. Такой формулой является Эйлера- Маклорена формула суммирования. В случае, если f(x)имеет кпроизводных и к- четное, формулу Эйлера - Маклорена можно записать в виде

где 0<q<1 (q вообще зависит от п), B_v- Бернулли числа. Если f(x)- многочлен степени, меньшей к, то остаточный член равен нулю.

Имеется аналогия между задачами К. р. и. и дифференциальным и интегральным исчислениями. Операций разыскания разности соответствует нахождению производной; решение уравнения (2) как операция, обратная разысканию конечной разности, соответствует нахождению первообразной, т. е. неопределенному интегрированию. Формула (3) есть прямой аналог Ньютона- Лейбница формулы. Эта аналогия проявляется при рассмотрении уравнений в конечных разностях. Уравнением в конечных разностях наз. соотношение

где F- заданная функция, a f(x)- искомая. Если выразить все Dⁿf(х) через f(x), f(z+1), ... , f(x+n), то уравнение в конечных разностях запишется в виде

Его решение относительно f(x+n):

При задании начальных значений f(x₀), f(x₀+1),... , f(x₀+n-1) можно последовательно найти f(x₀+n), f( х ₀+п+1) и т. д. После решения уравнения (4) относительно f(x):

можно, положив х=х ₀-1, найти f(x₀-1), затем найти f(x₀-2) и т. д. Таким образом, из уравнения через начальные данные могут быть найдены значения f(x)во всех точках х ₀+k, где k- целое. Пусть рассматривается линейное уравнение

где Р ₁ (х), ..., P_k(x)и Q(x)- заданные функции на множестве х=0,1, 2... . Общее решение неоднородного уравнения (6) есть сумма частного решения неодно-

родного уравнения и общего решения однородного уравнения

Если f₁(x), . .. , f_k(x)- линейно независимые решения уравнения (7), то общее решение уравнения (7) выражается формулой

где c₁, ... , с _k; - произвольные постоянные. Постоянные c₁, ... , c_k можно найти, задав начальные условия, значения f(0), f(1), . . . , f(k-1). Линейно независимые решения f₁(x), . . . , f_k(x)(фундаментальная система) легко находятся в случае уравнения с постоянными коэффициентам

Решение уравнения (8) ищется в виде f(x)=l^x. Характеристическое уравнение для X:

Пусть l₁, ... , l_k - его корни и все они различны. Тогда фундаментальная система решений уравнения (8) есть система и общее решение уравнения (8) представляется формулой:

Если l₁ есть s-кратный корень характеристич. уравнения, то ему соответствуют частные решения x^s-1l^x₁

Пусть, напр., рассматривается последовательность чисел, начинающаяся с нуля и единицы, в к-рой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 15, . . . (Фибоначчи числа). Ищется выражение для общего члена последовательности. Пусть j(x), х=0,1, 2, 3, ... ,- общий член последовательности; условие

является разностным уравнением с заданными начальными условиями. Характеристическое уравнение имеет вид: l²-X-1=0, его корни поэтому

и с ₂=находятся из начальных условий.

продолжение КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ....

Уравнение (4) можно изучать не только тогда, когда хизменяется дискретно, принимая значения 0, 1, 2, ... , но и тогда, когда хизменяется непрерывно. Пусть f(x)задана произвольно в полуинтервале [0, п). Из (5), положив х=0, получают f(n). Если f(x)задана непрерывной в [0, п), то в замкнутом интервале [0, п]функция f(х)может оказаться разрывной. Желая иметь дело с непрерывными решениями, надо f(x)так задать в [0, п), чтобы, в силу (5), f(x)оказалась непрерывной в [0, п]. Зная f(x)в [0, п], из (5) находят f(x)для х ( п, n+1], затем для х (n+1, n+2] и т. д.

Более общим, чем уравнение (8), является уравнение

Здесь h₁,... , h_k - необязательно целые и необязательно соизмеримы между собой. Уравнение (9) имеет частные решения

i

где l- корень уравнения

Это уравнение имеет бесконечно много корней l₁, l₂, .... Следовательно, уравнение (9) имеет бесконечно много частных решений m=1, 2, ... . Пусть все корни простые. Для выражения решения уравнения (9) через эти элементарные частные решения уравнение удобнее записать в виде:

где s(t)- кусочно постоянная функция, имеющая скачки в точках 0, h₁, . .. , h_k, равные соответственно 1, a₁, ..., a_k. Пусть

Функции y_v(t) обладают свойством:

(d_mv=l, если m=v, и d_mv=0, если т неравно v), т. е. они образуют систему, биортогональную к системе {е^lnt}. На этом основании решению f{x )уравнения (10) приводится в соответствие ряд

В случае, когда уравнение (9) имеет вид

(т. е. f(x)- периодическая функция с периодом 2p); L(l) = е ^2pl-1; корни уравнения L(l)=0 суть mi;( т=0, 1, . . .) и ряд (11) есть ряд Фурье для функции f(x), записанный в комплексной форме. Ряд (11) можно рассматривать как обобщение на случай разностного уравнения (9) обычного ряда Фурье, соответствующего простейшему разностному уравнению (12). При определенных условиях ряд (11) сходится к решению f(x). Если f(x)- аналитическая функция, то уравнение (9) представимо в виде бесконечного порядка уравнения

Аналогично разностям функций одного переменного вводятся разности функций многих переменных. Так, напр., пусть требуется решить задачу численного решения уравнения Лапласа

в прямоугольнике при заданных значениях и( х, у )на границе прямоугольника. Прямоугольник разбивается на мелкие прямоугольные ячейки со сторонами Dx=a/N, Dy=b/M. В вершинах этих ячеек ищутся значения решения. В вершинах, к-рые лежат на границе исходного прямоугольника, значения и( х, у )известны. Принимая приближенно (в числителях стоят разности второго порядка)

вместо уравнения Лапласа получают систему уравнений

Точка ( х, у )пробегает те вершины ячеек, к-рые расположены внутри основного прямоугольника. Тем самым строится система (N-1)( М-1) уравнений, содержащая то же число неизвестных. Решая эту алгебраич. систему уравнений, получают значения и( х, у )в вершинах ячеек. Когда D х и D у малы, а решение задачи имеет определенную гладкость, найденные значения близки к точным значениям.

К. р. и. развивалось параллельно с развитием основных разделов математич. анализа. Начала К. р. п. содержатся в трудах П. Ферма (P. Fermat), И. Барроу (I. Barrow), Г. Лейбница (G. Leibniz). В 18 в. К. р. и. приобрело характер самостоятельной математич. дисциплины. Первое систематич. изложение К. р. и. было дано Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715. Труды математиков 19 в. подготовили почву для современных глав К. р. п. Идеи и методы К. р. и. получили, существенное развитие в применении аналитич. функциям комплексного переменного и задачам вычислительной математики.

Лит.:[1] Марков Д. А., Исчисление конечных разностей, 2 изд.. Од., 1910; [2] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1-2, 3 изд., М., 1966; [3] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975.

А. Ф. Леонтьев.