КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Значение КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ в математической энциклопедии:

- гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К. <т. п. является наиболее разработанным (и одним из наиболее важных) разделом теории представлений групп.

Теория К. г. п. над полем С является частью теории представлений компактных групп, и все результаты этой теории (теорема Петера - Вейля, теория характеров, соотношения ортогональности и т. д.) справедливы (и притом упрощаются) для К. г. п. В частности, любое К. г. п. в топологич. векторном пространстве является суммой представлений, кратных неприводимым. С другой стороны, в теории К. г. п. есть ряд существенных результатов, использующих специфику конечных групп. Напр., для данной конечной группы Gчисло различных классов эквивалентности К. г. п. равно числу классов сопряженных элементов в G;сумма квадратов размерностей представителей классов эквивалентности К. г. п. равна порядку |G| группы G;размерность любого неприводимого К. г. п. является делителем индекса любого абелева нормального делителя в G (в частности, делителем порядка |G|) и не превосходит индекса абелевых подгрупп в G. Если c.- характер К. г. п. p, d- размерность p, то для всех и всех классов сопряженных элементов числа c(s). и являются целыми алгебраическими. Каждый характер группы Gявляется линейной комбинацией характеров К. г. п., индуцированных (см. Индуцированное представление )представлениями ее циклических подгрупп и линейной комбинацией с целыми коэффициентами характеров К. г. п., индуцированных одномерными представлениями подгрупп. Группа Нназ. р-элементарной, если она является произведением группы, порядок к-рой равен степени простого числа р, и циклич. группы порядка, взаимна простого с р;группа Нназ. элементарной, если она р- элементарна для нек-рого простого р. Любой характер конечной группы Gявляется линейной комбинацией с целыми коэффициентами характеров К. г. п., индуцированных представлениями элементарных подгрупп (теорема Брауэра, допускающая обобщение на случай поля произвольной характеристики). Если группа Gсверхразрешима, т. е. допускает композиционный ряд из нормальных делителей с циклическими факторами, то любое неприводимое К. г. п. для G индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. В случае, если характеристика рполя Кне является делителем порядка |G|, теория мало отличается от случая K=С. В частности, любое конечномерное К. г. п. вполне приводимо; если К- алгебраически замкнутое поле, то число классов эквивалентности неприводимых К. г. п. над Кравно числу классов сопряженных элементов группы, а сумма квадратов размерностей представителей этих классов равна порядку группы. Но для алгебраически замкнутого поля К могут существовать представления, неприводимые над К, но приводимые над его расширениями; поле Кназ. полем разложения неприводимого К. г. п. p, если p. остается неприводимым над любым расширением поля К, п - полем разложения для G, если Кесть поле разложения для любого неприводимого К. г. п. для G. Если К- поле характеристики нуль или конечное поле, содержащее корни из единицы степени т, где т- наименьшее общее кратное порядков элементов группы G, то К- поле разложения для G; теория К. г. п. над полем, не являющимся полем разложения, связана с группой Галуа расширения данного поля, получаемого присоединением всех корней т-й степени из единицы. В частности, число классов неприводимых представлений группы Gнад полем рациональных чисел равно числу классов сопряженности циклич. подгрупп этой группы; если К- совершенное поле, то существует поле разложения для G, конечное над К. Для любого поля Кхарактер любого К. г. п. принимает значение во множестве конечных сумм корней из единицы в поле К, и для матричных элементов и характеров справедлив аналог соотношений ортогональности и их следствий; в частности, если К- поле разложения для Gхарактеристики нуль, то К. г. п. с характером c. неприводимо тогда и только тогда, когда Если характеристика рполя K - делитель порядка |G|, то групповая алгебра группы Gнад полем Кне полупроста, и существуют не вполне приводимые К. г. п. над К. Пусть k- локальное поле характеристики нуль, полное относительно нек-рого дискретного нормирования, К- конечное поле классов вычетов поля kс характеристикой р;К. г. д. группы Gцад Кназ. модулярными. Теория модулярных К. г. п. устанавливает более глубокие связи между строением группы и свойствами представлений этой группы, чем теория К. г. п. над С. Теория упрощается в случае, если kи Ксодержат все корни т-й степени из единицы (и поэтому являются полями разложения); в этом случае для матричных элементов и характеров справедлив аналог соотношений ортогональности. Пусть p.- К. г. п. над К,c.- его характер, D - первообразный корень m-й степени из единицы в поле k,d - его канонический образ в К;пусть - элемент, порядок к-рого взаимно прост с р, т. е. р-регулярный элемент, G_reg - множество р-регулярных элементов. Преобразование p(s). диагонализуемо и c(s) = d^a1 + ...+ d^an для нек-рых целых a_l, ..., а _п;формула h(s)= D^a1 + ...+ D^аn определяет функцию наз. характером Брауэра представления я; он однозначно определяет композиционные факторы представления лнад К. Неразложимые двусторонние идеалы в групповой алгебре K(G)группы Gнад полем Кназ. блоками; существует классификация неэквивалентных неприводимых представлений над k, неизоморфных представлений над Ки неизоморфных компонент разложения левого регулярного представления группы Gнад Кв алгебре K(G). в прямую сумму ненулевых неразложимых представлений в терминах блоков; эти результаты допускают распространение на случай, когда поля kи Кне являются полями разложения для G.

Лит.:[1] Кэртис Ч., Райнер И., Теория "представлений конечных групп и ассоциативных алгебр., пер. с англ., М., 1969; [2] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [3] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Серр Ж.-П., Линейные представления конечных групп, пер. с франц., М., 1970.

А. И. Штерн.