" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КОЛМОГОРОВА КРИТЕРИЙ

Значение КОЛМОГОРОВА КРИТЕРИЙ в математической энциклопедии:

- статистический критерий, применяемый для проверки простой непараметрической гипотезы Н ₀, согласно к-рой независимые одинаково распределенные случайные величины Х ₁,..., Х _п имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x), причем альтернативная гипотеза Н ₁ предполагается двусторонней:

где - математическое ожидание функции эмпирического распределения F_n(x). Критическое множество К. к. выражается неравенством

и основано на теореме, доказанной А. Н. Колмогоровым в 1933: в случае справедливости гипотезы Н ₀ распределение статистики D_n не зависит от функции F(x), причем если то

где

В 1948 Н. В. Смирнов [4] табулировал функцию распределения Колмогорова К(l). Согласно К. к. с уровнем значимости a, 0<a<0,5, гипотезу Н ₀ следует отвергнуть, если где l_n(a) - критическое значение К. к., соответствующее заданному уровню значимости а и являющееся корнем уравнения

Для определения l_n(a) рекомендуется пользоваться аппроксимацией допредельного закона статистики Колмогорова D_n ее предельным распределением; см. [3], где показано, что если и то

Применение аппроксимации (*) дает следующее приближение критического значения

где z - корень уравнения

На практике для вычисления значения статистики D_n пользуются тем обстоятельством, что

где

- вариационный ряд, построенный по выборке X₁, ... ,Х _п. К. к. имеет следующее геометрич. истолкование (см. рис.).

Изобразим на плоскости хОу графики функций F_n(x), Заштрихованная область является доверительной зоной уровня 1-a. для функции распределения F(x), так как если гипотеза Н ₀ верна, то согласно теореме Колмогорова

Если график функции F(x)не выходит из заштрихованной области, то по К. к. с уровнем значимости а гипотезу H₀ следует принять, в противном случае гипотеза H₀ отвергается.

К. к. дал мощный толчок развитию математич. статистики, в результате чего были получены совершенно новые методы статистич. исследований, к-рые легли в основу непараметрич. статистики.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Giorn. Istit. Ital. Attuari" 1933, v. 4, p. 83-91; [2] Смирнов Н. В., "Бюлл. МГУ", секц. А, 1939, т. 2, в. 2, с. 3-14; [3] Большев Л. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1963, т. 8, с. 129-55; [4] Большей Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

М. С. Никулин.