КОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Значение КОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО в математической энциклопедии:

- пространство, получаемое из евклидова применением принципа двойственности проективного пространства такой же размерности. Обозначается R*_n, где п-размерность пространства. К. п. R*_n является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства R_n определяется абсолютом, состоящим из совокупности (п-1)-плоскости и (п-2)-мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. п. R_n определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. абсолютным конусом, с вершиной в качестве абсолютной точки абсолюта.

Расстояние между точками в пространстве R_n определяется в соответствии с общей схемой определения расстояния между точками в пространствах с проективной метрикой с учетом двойственного характера этого пространства по отношению к R_n. Пусть

- нормальные уравнения нек-рых плоскостей в евклидовом пространстве R_n, двойственном для R_n, где

- скалярное произведение векторов в R_n. В пространстве R*_n этим плоскостям ставятся в соответствие точки Х( х ⁰, x )и Y(y⁰, у )с координатами

координаты этих точек нормированы условиями

(х ⁰ и у ⁰- координаты точек Xи У в бесконечно удаленной плоскости). Расстояние d между точками Xи У определяется соотношением

т. е. выражается через величину угла между плоскостями, двойственными точкам Xи Y. В соответствии с нормировкой векторов точек Xи Y это соотношение можно записать в виде

Действительное число р наз. радиусом кривизны К. п. В случае, когда точкам в двойственном пространстве R_n соответствуют параллельные плоскости, то d=0, а расстояние между точками Xи Y определяются как евклидово расстояние между этими параллельными плоскостями.

Углы между двумя плоскостями определяются в R*_n как нормированное евклидово расстояние между соответствующими по принципу двойственности двумя точками в R,,. Этот угол равен также нормированному расстоянию между точками данных плоскостей в R*_n, являющихся полюсами (п-2)-плоскости их пересечения относительно квадрик, высекаемых абсолютным конусом на этих плоскостях. При этом всегда определяется тот из углов между плоскостями, к-рый не содержит абсолютной точки. В частности, между двумя прямыми на коевклидовой плоскости он равен нормированному расстоянию между такими двумя точками этих прямых, к-рые вместе с точкой пересечения данных прямых гармонически делят точки пересечения прямых с абсолютными прямыми.

Движения К. п. определяются как преобразования этого пространства, индуцируемые движениями соответствующего двойственного пространства R_m тем самый движения К. п. описываются ортогональными операторами.

Геометрия коевклидовой плоскости обладает свойствами, двойственными свойствам плоскости R₂.

Так, из инвариантности длин сторон в треугольнике ABC относительно движений плоскости R₂ следует, что угловой избыток инвариантен при движениях плоскости и всегда положителен. (Здесь и далее предполагается, что внутренний угол Втреугольника ABC в содержит абсолютную точку.) За площадь Sтреугольника на плоскости берется величина, пропорциональная угловому избытку, к-рый является аддитивной функцией треугольника: S=r²D. Вследствие двойственного характера величин углов и длин сторон треугольника на плоскости имеют место следующие тригонометрич. соотношения в треугольнике ABC:

b=а+с,

На плоскости метрика расстояний (на прямых) является проективной эллиптической, метрика углов - параболической. В пространстве проективная метрика расстояний (на прямых) - эллиптическая, в плоскостях - также эллиптическая, а в пучках плоскостей - параболическая.

К. п. является предельным случаем как эллиптического пространства, так и Лобачевского пространства: проективная метрика К. п. R_n может быть получена предельными переходами из проективных метрик указанных пространств.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

Л. А. Сидоров.