КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Значение КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ в математической энциклопедии:

- 1) К. p. (dim_GX) топологического пространства Xотносительно группы коэффициентов G- максимальное целое число р, для к-рого в X найдутся замкнутые подмножества Атакне, что когомологий Н ^p( Х, A; G )отличны от нуля. Аналогично определяется гомологическая размерность hdim_GX. Конечная лебегова размерность совпадает с dim_G (с hdim_G), если G- целые числа (приведенные по модулю 1 действительные числа). В евклидовом пространстве равенство dim_GX=p равносильно тому, что Xлокально зацепляется (п-р-1)-мерными циклами (с коэффициентами в G). Для паракомпактных пространств Xнеравенство равносильно существованию мягких резольвент для Gдлины р. Поскольку мягкие пучки ацикличны, этим устанавливается связь с общим определением размерности в гомологич. алгебре, напр, инъективная (проективная) размерности модуля если он обладает инъективными (проективными) резольвентами длины р;глобальная размерность кольца есть максимум инъективных (проективных) размерностей модулей над кольцом и является аналогом лебеговой размерности X.

Лит.:[1] Александров П. С, "Ann. Math.", 1929, v. 30, p. 101-87; [2] его же, "Math. Ann.", 1932, Bd 106, S. 161-238; [3] eго же, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975; [4] Xарлап А. Э., "Матем. сб.", 1975, т. 96, № 3, с. 347-73; [5] Кузьминов В. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, № 5, с. 3-49; [6] Вrеdоn G. E., Sheat theory, N. Y., 1967; [7] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960.

Е. Г. Скляренко.

2) К. р. схемы - аналог понятия когомологической размерности топологич. пространства для алгебраич. многообразия или схемы с выбранной теорией когомологий на них. Пусть X- алгебраич. многообразие или нётерова схема размерности п. К. р. схемы Xназ. целое число cd(X), равное нижней грани в тех i, для к-рых для всех абелевых пучков на топологическом пространстве Xпри j>i. Справедливо неравенство

Когерентнойкогомологической размерностью схемы Xназ. число cohcd (X), равное нижней грани тех г, для к-рых для всех когерентных алгебраич. пучков на Х при j>i. В силу определения По теореме Серра cohcd(X) = 0 тогда и только тогда, когда X - аффинная схема. С другой стороны, если X- алгебраич. многообразие над полем k, то cohcd(X)=n тогда и только тогда, когда Xсобственно над к(теорема Лихтенбаума) (см. [3]).

Пусть X- собственная схема над полем k, Y- ее замкнутая подсхема коразмерности dи U=X-Y. Тогда имеют место следующие утверждения ([2] - [4]).

Если У - теоретико-множественное полное пересечение обильных дивизоров на X, то

если X- проективное многообразие Коэна - Маколея (напр., неособое проективное многообразие) и Y нульмерно, то cohcd (U)=n-1. Условие cohcd (U) п-2 равносильно тому, что У связно. Если Х = Р ^п- проективное пространство и У связно и размерности то

Если X- алгебраич. комплексное многообразие, то можно рассматривать гомологич. размерность соответствующего топологич. пространства Х(С). В общем случае, когда X- нётерова схема, аналогом гомологич. размерности является понятие этальной когомологической размерности схемы X. Точнее, пусть X_et- этальная топология Гротендика схемы Xи l- простое число. Когомологической l- размерностью схемы X(или этальной К. р.) наз. число cd_l(X), равное нижней грани тех i, для к-рых для всех Z-периодических абелевых пучков Fна X_et при j>i. Если X=Spec A - аффинная схема, то cd_l(Spec A)наз. также К. р. кольца А. В частности, если А- поле, то понятие cd_l(A) совпадает с понятием К. р. поля, к-рое изучается в теории Галуа когомологий.

Если X- алгебраич. многообразие размерности пнад полем k и то В частности, если k- сепарабельно замкнутое поле, то Если X- аффинное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cd_l(X) dim X.

Пусть k- поле конечной характеристики р, тогда для любой нётеровой схемы Xнад полем кимеет место неравенство

В частности, для любого нётерова коммутативного кольца А

Если X- квазипроективное алгебраич. многообразие над сепарабельно замкнутым полем к, то cd_p(X) dim X, где р - характеристика k.

Лит.:[1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Наrtshоrne R., "Ann. Math.", 1968, v. 88, p. 403-50; [3] eго же, Ample subvarieties of algebraic varieties, В., 1970; [4] eго же, "Compositio math.", 1971, t. 23, № 3, p. 257-64; [5] Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, B.- Hdlb.- N. Y., t. 2, 1972; t. 3, 1973.

И. В. Долгачев.