" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР

Значение КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР в математической энциклопедии:

- группы

(см. ФункторExt), где D - ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K-алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л-модуль, a А есть R-модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории когомологии нек-рых типов (универсальных) алгебр.

Впервые группы когомологии групп во всех размерностях были введены С. Эйленбергом и С. Маклейном [3] в связи с топологич. исследоваяиями и Д. К. Фаддеевым [5] - с чисто алгебраич. точки зрения - как группы классов обобщенных систем факторов, в 40-х гг. 20 в. Ранее изучались в той или иной форме когомологии групп в малых размерностях (см. [1], [2], [4]).

Примеры групп когомологии. 1) Если К= Z - кольцо целых чисел, G-группа, Д = ZG - групповая алгебра группы Gнад Z,

то группы Hⁿ{R, А )наз. группами когомологии группы Gс коэффициентами (или со значениями) в Д-модуле Аи обозначаются Hⁿ(G, A). Можно вместо группы Gрассмотреть моноид Gи аналогично получить группы когомологии Hⁿ(G, А )моноида G.2) Если S- ассоциативная К-алгебра, S⁰ - антиизоморфная ей K-алгебра,

то группы Hⁿ(R, А )наз. группами когомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле А(т. е. в R-модуле А)и обозначаются Hⁿ(S, А). Если К - поле, то группы Hⁿ(S, А )наз. группами когомологии Хохшильда Z-алгебры S.

3) Если S-алгебра Ли над полем К, R= U_S- ее универсальная обертывающая алгебра с пополнением то группы Hⁿ(R, А )наз. группами когомологийалгебры Л и S с коэффициентами в U_S -модуле А(т. е. в лиевом S-модуле А)и обозначаются Hⁿ(S, А).

При n=0, 1, 2 группы когомологий в ряде случаев допускают простую интерпретацию.

а) Если G- группа, то группа H⁰(G, А )изоморфна группе инвариантных элементов; группа H¹(G, А)изоморфна факторгруппе Der(G, A)/Ider(G, А), где

- группа дифференцирований (или скрещенных гомоморфизмов),

-группа внутренних дифференцирований (или главных скрещенных гомоморфизмов), при этом точна последовательность

для абелевой группы Gгруппа H²(G, А)изоморфна группе расширений группы Ас помощью группы G(см. Бэра умножение);третья группа когомологии группы Gсвязана с препятствиями для расширений (см. [9], гл. IV).

б) Если S- ассоциативная K-алгебра, то группа H⁰(S, А )изоморфна группе

группа Я ¹ (S, А )изоморфна факторгруппе

где

группа H²(S, А )описывает сингулярные расширения S-бимодуля Ас помощью кольца S(см. [14]).

в) Если S- алгебра Ли, то группа H⁰(S, А )изоморфна K-модулю группа H¹(S, А )изоморфна факторгруппе

где

двумерная группа когомологии H²(S, А )алгебры Ли соответствуют K-расщепляющимся расширениям алгебр Ли (см. [6], гл. XVI); в нек-рых случаях элементы группы H³(S, А )являются препятствиями в задаче о расширении.

Группы когомологии находят широкое применение в различных областях алгебры. Так, напр., если G- группа и H²(G, А) = 0 для всех ZG-модулей А, то G- свободная группа (теорема Столлингса, см. Гомологическая размерность). Если G- группа, С* - мультипликативная группа поля комплексных чисел, то группа М(G) = H²(G, С*) наз. мультипликатором Шура группы G. Она играет важную роль при изучении центральных расширений групп и в теории проективных представлений конечных групп [1]. Если G- группа, А- ZG-модуль и рА=0 для простого числа р, то

где k=GF(p)- поле из рэлементов. Если G- конечная р-группа, то d(G)=dim_k H¹(G, k)- минимальное число образующих группы G,r(G) = dim_k H²(G, k) - минимальное число определяющих соотношений для G, рассматриваемой как про-р-группа, где R(G)- минимальное число соотношений дискретной группы G. Тот факт, что r(G)- d(G)стремится к бесконечности при приводит к отрицательному решению проблемы башни полей, проблемы Куроша о нильалгебрах и общей проблемы Бернсайда [10]. Если G- про-р-группа, - семейство всех

ее открытых нормальных делителей, то группа

наз. п- йгруппой когомологии про-р-группы С с коэффициентами в ZG-модуле Аи обозначается Hⁿ(G, А). Если Е- расширение Галуа поля Lс группой Галуа G=G(E/L), то группа Gявляется про-р-группой, группы Hⁿ(G, А )наз. группами когомологий Галуа. Важную роль играют группы H^q(G, Е*), где Е*- мультипликативная группа поля Е. Так, H¹(G, E*)=0, а следствием этого факта является известная теорема Гильберта (о циклических расширениях) 90. Если же Е- сепарабельное замыкание поля L, то группа H²(G(E/L), Е* )наз. группой Брауэра поля L(см. Брауэра группа). В настоящее время (1978) развита теория Галуа коммутативных колец, в к-рой существенную роль играют когомологий Галуа коммутативных колец и группа Брауэра.

Если S- ассоциативная алгебра, то из H²(S, S) = 0 следует, что алгебра Sжесткая (см. Деформация, алгебры).

Группы когомологий Hⁿ(R, А )в нек-ром смысле двойственны группам гомологии

ассоциативной K-алгебры Rс коэффициентами в R-модуле А. Если G-группа, R=ZG и К=Z, то группы H_n(R, А )наз. группам игомологийгруппы Gс коэффициентами в R-модуле Аи обозначаются Н _n(G, А);если S- ассоциативная K-алгебра и R= то группы H_n(R, А )наз. группами гомологии ассоциативной алгебры Sс коэффициентами в S-бимодуле Аи обозначаются H_n(S, А);если S - алгебра Ли и R=U_S- ее универсальная обертывающая алгебра, то группы H_n(R, А). наз. группами гомологии алгебры Л и Sс коэффициентами в лиевом S-модуле Аи обозначаются H_n(S, А). Группы гомологии в малых размерностях в ряде случаев также допускают простую интерпретацию. Так, если G - группа, то H₀(G, Z)Z, H₁(G, Z)G/[G, G].

Если в абелевой категории функтор Hom обладает производным функтором Ext и определен функтор с его производным функтором Тог, то приведенная схема определяет теории гомологий и когомологий в этой категории. Весьма общий подход к построению теории когомологий может быть развит с использованием котроек [11]. Понятие (ко)тройки возникло при анализе минимальных средств, необходимых для построения симплициальных резольвент. Тройкой T=(T, k, p) над категорией U наз. совокупность функтора и двух естественных преобразований функторов подчиненных условиям

Понятие котройки двойственно, т. е. получается из приведенного обращением стрелок. Если объект и морфизм удовлетворяют условиям

то пару (X, q )наз. T-алгеброй. Пусть U^T - категория T-алгебр. Если то

Тем самым определен функтор (в нек-ром смысле F(X) - объект, свободный над X). Пусть - функтор, забывающий T -структуру. Тогда функторы Fи Uсопряжены, UF=T,a G=FU:: с определяют котройку (G, l, q )и комплекс с дифференцированием (этот комплекс является аналогом свободной резольвенты объекта X). Если категория абелева и полученный комплекс ацикличен, то стандартное применение функтора Hom (соответственно ) приводит к построению групп когомологий (соответственно гомологии) объекта X. В общем случае над T-алгеброй (X, q )надо построить новую абелеву категорию (X, q )-модулей, на к-рой имеется естественная структура котройки, позволяющая уже построить группы, называющиеся группами когомологий первоначальной категории (аналогично построению групп когомологий для категорий групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли). В эту схему включаются как когомологий групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, так и ряд других теорий когомологий (когомологий коммутативных алгебр Харрисона, когомологий Андре - Квиллена, когомологий Амицура и др., см. [8]).

Все приведенные конструкции относились так или иначе к абелевым категориям. В то же время ряд разделов математики (напр., теория расширений групп) приводит к необходимости построения теории когомологий с коэффициентами в неабелевой категории (напр., в неабелевом G-модуле Ав случае группы G)(см. [8], [11]). Отправной точкой для построения различных теорий неабелевых когомологий алгебр служат интерпретации когомологий в размерностях 0 и 1, но при этом приходится отказываться от нек-рых привычных аспектов классической теории (структуры группы на когомологиях и др.). Рассматривались когомологий топологических алгебраических структур (напр., когомологий топологич. групп [5], банаховых алгебр и др.).

Лит.:[1] Schur J., "J. reine und angew. Math.", 1907, Bd 132, S. 85 - 137; [2] Baer R., "Math. Z.", 1934, Bd 38, S. 374-416; [3] Eilenberg S., MacLane S.,"Proc. Nath. Acad. Sci. USA", 1943, v. 29, p. 155-58; [4] Hopf H., "Comment, math, helv.", 1944/45, v. 17, p. 39-79; [5] Фаддеев Д. К., "Докл. АН СССР", 1947, т. 58, Л" 3, с. 361 - 64; [6]Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [7] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [8] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 203-35; [9] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [10] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [11] Seminar on Triples and Categorical Homology Theory. Zurich. 1966-67, В.- Hdlb.-N. Y., 1969; [12] G men berg K. W., Cohomological topics in group theory, B.- Hdlb.- N. Y., 1970; [13] Stammbасh Urs., Homology in group theory, B.- Hdlb.-N. Y., 1973; [14] Fossum R., Griffith Ph., Reiter I., Trivial extensions of abelian categories. Homological algebra of trivial extensions of abelian categories with application to ring theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1975.

Б. E. Говоров, А. В. Михалев.