" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КОБОРДИЗМ

Значение КОБОРДИЗМ в математической энциклопедии:

кобордизмов теория,- обобщенная теория когомологий, определенная спектрами пространств Тома и связанная с различными структурами в стабильном касательном или нормальном расслоении к многообразию. Теория К. двойственна (в смысле S-двойственности )теории бордизмов.

Простейшим примером К. являются ортогональные, или неориентированные К. Пусть О _r - группа ортогональных преобразований евклидова пространства R^r, ВО _r- ее классифицирующее пространспгво. Стандартное вложение задает отображение j_r:: переводящее универсальное расслоениеg_r+1 над ВО _r+1 в расслоение где q - одномерное тривиальное расслоение над ВО _r. Если ТВО _r- Тома пространство расслоения g_r, то получается индуцированное отображением j_r отображение s_r: STBO_rTBO_r+1, где S- оператор надстройки. Последовательность {ТВО _r, s_r} образует спектр пространств и, следовательно, задает теорию когомологий, наз. теорией ортогональных К., или О-К., обозначаемую О*. Группа О ^п( Х, А)n-мерных О-К. пары пространств (X, А)определяется как

где [ Р, Q] - множество гомотоппч. классов отображений из Рв Q. При этом О ^п (Х)=О ⁿ( Х, ф), где ф- пустое множество, а под Х/ф = Х ⁺ понимается несвязное объединение Xи точки. Группа О ⁿ(X, х ₀), где наз. приведенной группой n-мерных О-К. пространства X. Обобщенная теория гомологии, двойственная теории О-К., наз. теорией О-бордизмов. Группы О _п( Х, А)n-мерных бордизмов пары (X, А )определяются как

Группы n-мерных О-К. точки обозначаются через W₀ⁿ, а n-мерных О-бордизмов точки - через последние описываются чисто геометрически. При этом так что ее можно интерпретировать как группу К. и как группу бордизмов (см. Бордизм), где она обозначена Полная группа коэффициентов теории О-К.- градуированная группа - является кольцом: умножение индуцировано прямым произведением многообразий. Более того, для любого конечного СW -комплекса Хгруппа является естественным по Xкольцом, поскольку индуцированное вложением О _т+п отображение задает отображение так что {ТВО _r} - мультипликативный спектр пространств.

Общая ситуация описывается следующим образом. Структурной серией ( В, j) наз. последовательность расслоений и отображений таких, что Отображение j_r задает векторное расслоение x_r⁼j*g_r над B_r, причем i_r*x_r+1=x_r+j_r*q. Пусть ТВ _r - пространство Тома расслоения x_r; указанное равенство задает отображение s_r:так что последовательность Т( В,j)= {TB_r, s_r} является спектром пространств и, следовательно, задает теорию когомологий, наз. теорией ( В, ф)-К., обозначаемую ( В, ф)*. Таким образом

Группа коэффициентов теории ( В,j) -К. обозначается через . При этом где - группа коэффициентов двойственной теории ( В,j)-бордизмов, которая допускает геометрическое определение, использующее понятие так наз. ( В,j) -структуры:. определяется ( В,j)-бордантность и элементы W^{(B, j)} интерпретируются как классы ( В, ф)-бордантных многообразий.

Первые примеры теорий К. возникают из серий линейных групп. Напр., серия ортогональных групп {О _r} определяет структурную серию { В _пj_r}, где B_r=BO_r,j_r=id. Серия {SO_r} определяет структурную серию {В _r, j_r}, где B_r=BSO_r,j_r:- универсальное двулистное накрытие, соответствующее включению Соответствующая теория К. наз. теорией ориентированных К. и обозначается через SO*. Серия унитарных групп {U_r} определяет теорию унитарных, или квазикомплексных К., обозначаемую U*. Здесь серия {В,j} строится так: B_2r-B_2r+1=BU_r- классифицирующее пространство группы U_r, а отображения j_r - отображения классифицирующих пространств индуцированные естественными вложениями Серия симплектических групп {Sp_r} определяет теорию симплектических К. Sp*, здесь B_4r=B_4r+1=B_4r+2=B_4r+3= В Sp_r, и отображения j_r строятся так же, как и в случае унитарных К. Имеются также теории К., соответствующие сериям групп {Spin_r}, {SU_r}, и т. д. Наконец, серия единичных групп {Е _r}, где j_r :- расслоение со стягиваемым В _r, дает теорию К., совпадающую с теорией стабильных когомотопических групп, и потому двойственная теория бордизмов изоморфна теории стабильных гомотопических групп, Е _i (Х) p_i+_N(S^N Х), E-многообразие наз. оснащенным, так как E-структура - это в точности оснащение (тривиализация) стабильного нормального расслоения. Теория Е-К. наз. теорией оснащенных К., а ее i -мерная группа коэффициентов обозначается через [так что это - первый пример К.; он появился у Л. С. Пбнтрягина (1955), проинтерпретировавшего стабильные гомотопич. группы сфер как (определяемые геометрически) группы оснащенных К. точки с целью вычисления группы

Все описанные теории К., возникающие из серий линейных групп, являются мультипликативными, и потому для любого конечного CW-комплекса Хполная (градуированная) группа К. является кольцом.

Например, для серии групп {U_r}имеется вложение порождающее отображение

и, следовательно, отображение TBU _т+п. Спектр {М _г}, представляющий теорию U*, имеет вид M_ir=TBU_r, M_2r+1=STBU_r и потому существуют отображения так что спектр пространств {М _r} мультипликативен.

Развитие теории К. началось с геометрич. определения и вычисления групп W_E, W_O, W_SO. Важную роль сыграла теорема Понтрягина о том, что О-бордантные многообразия имеют одни и те же числа Штифеля. Исследование К. было продвинуто Р. Томом (R. Thorn). Он ввел пространства TВО _N, TBSO_N и доказал изоморфизм p_i+N(TBO_N)что позволило привлечь к вычислению колец К. точки методы гомотопич. топологии. Конструкции Тома стимулировали введение TBU _п,. TBSp_n и т. д. и соответствующих К. Основной задачей первого этапа развития теории К. и было вычисление колец К. точки.

При изучении К. точки большую роль играют характеристические классы- Чжэня для W_U, Штифеля для W_O, Понтрягина и Штифеля для W_SO. Вообще, для любой структурной серии ( В,j). и любой мультипликативной теории когомологий h*, в к-рой все расслоения x_r над B_r. ориентируемы, можно определить характеристические классы как элементы группы h*(B), где S=lim(B_r, j_r). При этом соответствующие характеристич. числа, являющиеся элементами кольца h* (точка), будут инвариантны относительно ( В, ф)-бордантности. Пусть х _i - образующие By для классов. Чжэня и S_w - симметрич. функция от ппеременных, соответствующая нек-рому разбиению w= (i₁, .... i_k) числа п.Xарактеристич. класс S_w(x₁,..., х _п )обозначается через Аналогичные конструкции для классов Понтрягина и Штифеля обозначаются через и соответственно.

продолжение Кобордизм...

1) Унитарные К. Кольцо W_U.- свободная градуированная полиномиальная алгебра от счетного числа однородных образующих

Множество {х _п}, Deg x_n=-2n является системой полиномиальных образующих тогда и только тогда, когда

где (n) - разбиение числа п, состоящее из одного слагаемого. Одну из систем полиномиальных, образующих кольца W_U. можно описать так. Пусть СР ⁿ есть n-мерное комплексное проективное пространство. Комплексная алгебраич. гиперповерхность бистепени (1,1) в С Р ⁱX CP^j является комплексным многообразием. Класс его унитарных К. обозначим H_{i, j}, Оказывается, что S_i+j-1(H_i,j) = так что подходящая целочисленная линейная комбинация элементов Н _i,j задает образующую кольца W_U. степени 2(1-i-j).

Из отсутствия кручения в кольце W_U и того, что Н*(BU;Z)=Z[c₁, ..., с _п ...], где с _п- Чжэня классы,deg с _n=2_n, следует, что Чжэня числа полностью определяют класс унитарных К. квазикомплексного многообразия.

Пусть п- натуральное число (i₁, ..., i_k), i_s>0, - его разбиение. Каждому 2n-мерному (размерность действительная) квазикомплексному многообразию Мсоответствует набор { а _i1...ik}= { с _i1...c_ik (М)} целых чисел, где мультииндекс i₁, ...i_k пробегает все разбиения числа п. Набор таких целых чисел {b_i1, ..., b_ik } реализуется как набор чисел Чжэня нек-рого квазикомплексного многообразия в следующей ситуации. Пусть - характеристический класс, заданный симметрия, функцией S_w от переменных e^xi-1, i=1, 2,..., |w|, а - характеристический класс, заданный произведением функций x_i/(e^xi- 1), где х _i- образующие By. Пусть х(М)- значение характеристич. класса x Hⁿ( ВU;Q) на фундаментальном классе [М] Н _п( М, Z )квазикомплексного многообразия Мс касательным расслоением ТМ.

Для гомоморфизма тогда и только тогда существует такое замкнутое квазикомплексное многообразие М, что j(х) = х (М)для всех xО Hⁿ(BU;.Q), когда j принимает целые значения на всех n-мерных компонентах каждого характеристич. класса (теорема Стонга). Эквивалентно, гомоморфизм Гуревича где - мономорфизм на прямое слагаемое (теорема Хаттори). Здесь К- приведенная К-теория.

2) Неориентированные, или ортогональные, К. Каждый элемент кольца W_O имеет порядок 2, и

т. е. W_O- свободная полиномиальная Z₂ -алгебра. В качестве образующей х _i можно выбрать любой элемент [М]. с напр. x_2i=RP²ⁱ. В этой теории есть аналоги многообразий H_i,j, если вместо СР ^k брать RP^k;. подходящее многообразие H_i,j может служить образующей степени 1-i-j. Штифеля числа полностью определяют класс неориентируемых К. многообразия, соотношения между числами Штифеля дает следующая теорема: для гомоморфизма j: Н ⁿ( ВО; Z₂)Z₂. Тогда и только тогда существует такое n-мерное замкнутое многообразие М, что j(x) = x(M)для всех когда j(Sqb+vb)=0 для всех ( ВО;.Z₂), где v=Sq^-1w. Здесь Sq=Sq¹+Sq²+... - полная Стипрода операция, w=w₁+w₂+ ... - полный класс Штифеля. Образом гомоморфизма является кольцо (W₀)²

3) Ориентированные К. с кольцом W_SO. Все элементы подгруппы кручения Tors этого кольца имеют порядок 2. Кольцо W_SO/Tors является кольцом полиномов над Z от классов х _i степени - 4_i, образующие выделяются условием

Класс SO -К. многообразия определяется Понтрягина числами и числами Штифеля. Инвариантом класса К. является также сигнатура многообразия. Соотношения между числами Штифеля вытекают из следующего факта: образ гомоморфизма "забывания"состоит точно из тех классов К., у которых все числа, содержащие класс w₁, равны нулю. Для любого разбиения w=(i₁, .. .,i_k )имеет место

где р _w,- соответствующее число Понтрягина. Не существует 2-примарьых соотношений между числами Понтрягина.

Подобно тому, как для унитарных К. вводились классы вводятся классы - симметрич. функции от e^xi+е ^-xi-2. Пусть L- характеристич. класс, задающий L-poд Хирцебруха. Все соотношения между числами Понтрягина следуют из того, что числа Понтрягина целые, и Гомоморфизм эпиморфен.

4) Специальные унитарные К. с кольцом W_SU U -многообразие Мдопускает SU-структуру тогда и только тогда, когда С ₁ (М) = 0. Все элементы подгруппы кручения Tors имеют порядок 2. Ядро гомоморфизма есть в точности Tors. Группы Wⁿ_SU конечно порождены, и есть кольцо полиномов над Q от классов х _i степени -2i, i>1. Подгруппа кручения Tors имеет вид Tors^-n=0 при 8k+2, а для n=8k+1, 8k+2 группа Tors^-n есть векторное пространство над Z₂, размерность к-рого равна числу разбиений числа к. Два SU -многообразия бордантны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же характеристич. числа в целочисленных когомологиях и в КО -теории.

Все соотношения между числами Чжэня для n-мерных SU -многообразий вытекают из следующих: с ₁ с_w (М)=0 для всех w: для всех w; если n=4 mod 8, то для всех w.

Образ гомоморфизма W_SU->W_O состоит из классов [M]², где М- ориентированное многообразие, у к-рого все числа Понтрягина, содержащие класс р ₁, четны.

Полностью вычислены также кольца W_Spin и W_SpinC Кольца W_Sp и W_fr до сих пор (1978) не вычислены. Кольцо является кольцом полиномов от (-4i)-мерных образующих. Все известные (1978) элементы группы Tors W_Sp имеют порядок 2. Что касается кольца W_fr, то здесь основным результатом является теорема Серра о конечности этих групп. Изучается также кольцо самосопряженных К. W_SC, где объекты- квазикомплексные многообразия с заданным в нормальном расслоении оператором, изоморфно отображающим комплексную структуру на сопряженную. Спектр TBSC построен; о группах W_SO известно, что там есть лишь 2-примарное кручение, но, в отличие от W_Sp, найдены элементы порядка 4^k с любым к, именно [RP^4k-3]. Вычислен также образ с помощью техники формальных групп.

Отображение одной теории К. в другую, напр. SU*U*, индуцирует отображение спектров Конус этого отображения в категорию спектров задает обобщенную теорию когомологий. Кольцо точки полученной теории имеет следующую геометрич. интерпретацию. Пусть (U, SU)- U-многообразие, на краю к-рого (возможно, пустом) фиксирована SU -структура. Введением для (U, SU )-многообразий соответствующего отношения бордантности получается кольцо W_{U, SU}. Так же вводятся группы W_U, fr,W_{O, SO} и др.

Выше рассматривались гладкие многообразия или, эквивалентно, линейные представления групп (структурные серии возникали из расслоений над SO_r). Можно рассматривать различные структуры на топологич. многообразиях, т. е. исходить из группы гомеоморфизмов (и даже собственных гомотопич. эквивалентностей) пространства R^r. Здесь известны следующие примеры (буква Sвезде означает переход к ориентированному случаю).

5) Кусочно линейные К. Объекты - кусочно линейные многообразия. Соответствующее отношение бордантности приводит к группам W_PL, W_SPL. Определив группу PL_n (соответственно SPL_n). как группу кусочно линейных гомеоморфизмов пространства Rⁿ на себя, сохраняющих начало координат (соответственно и сохраняющих ориентацию), можно ввести классифицирующие пространства BPL_n, BSPL_n и пространства Тома TBPL_n, TBSPL_n и построить теории К. PL, SPL. При этом W^-i_SPL ni(TBSPL). Группы W_PL. вычислены. Класс К. кусочно линейного многообразия полностью определяется своими характеристич. числами, т. е. элементами группы H*(BPL; Z₂).

6) Топологические К. Объекты - топологич. многообразия, для к-рых определяются группы W_Top, W_STop. Рассматривая группу Тор _п, сохраняющих начало координат гомеоморфизмов пространства Rⁿ на себя, можно определить пространства ВТор и ТВТор _п. Группы p_i( ТВТор) и Н*( ВТор, Z₂ )вычислены. Однако изоморфизм установлен при всех i, кроме j=4. Отсутствие доказательства этого изоморфизма связано с тем, что теорема трансверсальности, на к-рой основан изоморфизм для топологич. многообразий, в общем случае не доказана (но и не опровергнута, 1978).

7) К. комплексов Пуанкаре W_G,W_SG. Объекты - комплексы с Пуанкаре двойственностью, бордантность - соответствующее отношение эквивалентности. Такие комплексы имеют нормальное сферич. расслоение, к-рое индуцируется из универсального расслоения над BG_N( или BSG_N). Здесь G_N (соответственно SG_N)- Н-пространство гомотопич. эквивалентностей (соответственно степени 1) сферы S^N на себя. Возникающие спектры Тома TBG и TBSG имеют конечные гомотопич. группы, в то время как сигнатура задает нетривиальный гомоморфизм так что отображение заведомо не изоморфизм.

Еще одну серию примеров дают К. многообразий с особенностями специального типа. На этом пути можно построить теорию К., совпадающую с обычной теорией сингулярных когомологий, и теорию К., совпадающую со связной А*-теорией.

Второй этап развития теории К. связан с изучением К. как специфических обобщенных теорий когомологий. Пусть F- одно из полей R, С или тело кватернионов И, GF- соответствующая серия групп (GR_n=O_n, GC_n=U_n, GH_n=Sp_n )и GF* - соответствующая теория К. Мультипликативная Ъбобщенная теория когомологий h* наз. F-o риентируемой, если любое F-векторное расслоение h*-ориентируемо или, эквивалентно, каноническое одномерное F-векторное расслоение где -проективное пространство, h* ориентируемо. F-ориентацией теории h* наз. h*-ориентация расслоения x, и теория с выбранной ориентацией наз. ориентированной. Теории GF-K. имеют канонич. ориентацию благодаря отождествлению FP°°=TBGF₁. Теория GF* является универсальной в классе F-ориентированных теорий, т. е. для любой F-ориентированной теории h* с F-ориентацией U_h(x) существует единственный мультипликативный гомоморфизм теорий j^h :при к-ром канонич. ориентация теории GF* переходит в U_h. При этом, когда F₀- одно из полей R, С, то для любой F_o-. ориентированной теории h* и любого конечного CW-комплекса Xсуществуют спектральные последовательности и с

сходящиеся к h*(X)и естественные по Xи h*, где h*(точка) сделано W_GF0 модулем посредством гомоморфизма j^h (точка). Если h_*- теория гомологии, двойственная F-ориентированной теории когомологий h*, то имеется гомоморфизм j_h : В случае, когда h*- обычная теория гомологии, он совпадает с гомоморфизмом Стинрода-Тома реализации циклов (см. Стинрода задача).

Наиболее важные и удачные применения теории К.: доказательство теоремы Атьи-Зингера об индексе эллиптич. оператора и общей теоремы Римана-Роха; изучение неподвижных точек действий групп; классификация гладких (кусочно линейных) многообразий данного гомотопич. типа; доказательство теоремы о топологич. инвариантности рациональных классов Понтрягина и решение проблемы триангулируемости топологич. многообразия.

Лит.:[1] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [2] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [3] Новиков С. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1967, т. 31, М4, с. 855-951; [4] Вroсker Т., Dieсk Т., Kobordis-mentheorie, В., 1970; [5] Бухштабер В. М., Итоги науки и техники. Алгебра. Геометрия. Топология, т. 13, М., 1975, с. 231 - 72. См. также лит. при статье Бордизм. Ю. <Б. <Рудяк.

h-КОБОРДИЗМ - бордизм(W, М ₀, М ₁), где W- компактное многообразие, край к-рого дW- объединение непересекающихся замкнутых многообразий М ₀, и M₁, являющихся деформационными ретрактами W. Простейший пример - тривиальный h-K.

Многообразия М ₀ и М ₁ наз. h-к обордантными,. если существует А-К. W, соединяющий их.

Если (W; М ₀, М ₁) - такой h-K., что W, М ₀, М ₁- односвязныо дифференцируемые (кусочно линейные) многообразия и dimто Wдиффеоморфно (кусочно-линейно изоморфно) и, следовательно, М ₀=М ₁ (теорема об h-к обордизме [4]). Таким образом, установление изоморфизма сводится к установлению их h-кобордантности, что удается сделать методами алгебраич. топологии, и по этой причине эта теорема является основным средством перехода от гомотопич. классификации односвязных многообразий к их классификации с . точностью до диффеоморфизма (кусочно линейного изоморфизма). Так, если Wⁿ, - дифференцируемое компактное многообразие односвязным краем, то оно диффеоморфно диску Dⁿ. Если М ^п,- многообразие, гомотопически эквивалентное сфере Sⁿ, то оно гомеоморфно (и даже кусочно линейно изоморфно) сфере Sⁿ (обобщенная гипотеза Пуанкаре).

Теорема об А-К. позволила классифицировать дифференцируемые структуры на сфере, Sⁿ,[6], а также на гомотопическом типе произвольного замкнутого односвязного многообразия [1].

В случае h-K.(W; М ₀, М ₁). с p₁. диффеоморфизма вообще говоря, нет.

Все h-K.(W; М ₀, М ₁). с и фиксированным М ₀ классифицируются нек-рой абелевой группой - Уайтхеда группойгруппы p₁M₀. Данному А-К. соответствует элемент являющийся инвариантом пары (W, М ₀);он обозначается t(W, M₀ )и наз. кручением (иногда кручением Уайтхеда) данного h-K. Если t( W, М ₀) = 0 (или равносильно t(W, M₁)=0), то h-K. наз. s-кобордизмом. Если (W; M₀, M₁) - такой h-K., что то кручение t( W, М ₀ )обращается в нуль тогда и только тогда, когда (теорема об s-кобордизм е). Теорема об h-K. есть частный случай этой теоремы ввиду Wh{l}=0. Теорема об s-кобордизме справедлива и для топологич. многообразий [9].

Для h-K.(W; М ₀, М ₁). наряду с t(W, M₀ )определяется кручение x(W, М ₁);если данный h-K. ориентируем, то t(W, М ₀)=(-l)^n-1t*(W, M₁), где n=dim W, а элемент t* сопряжен к t в группе Whp₁. В частности, если p₁ конечна и абелева, то t* = t.

Если два h-K.(W; М₀, М₁ )и (W'; М₁, М₂ )склеены по M₁ в k-K.то

Если склеить две копии Wпо M₁ причем dim W лечетно и p₁=Z₅, получится h-K.(2W, М ₀, М'₀), где М _о=М'₀ при отсутствии диффеоморфизма W М _о[0, 1], т. е. из не следует тривиальность связывающего их h-K.

Если М _о -замкнутое связное многообразие, и dimM₀5, то для любого существует h-K.(W; М ₀, М ₁ )с t(W, М ₀) = т. Если h-К. (W; M₀, М ₁) и(W'; М ₀, M'₁ )с имеют одинаковые кручения

t(W, M₀) =t(W', М ₀), то rel М ₀. При четной dim M₀ и конечной p₁M₀ существует конечное множество различных многообразий, h-кобордантдых М ₀, в случае нечетной размерности это не так.

Если гомотопич. эквивалентные многообразия М ₁ и М ₂ вложены в R^N с достаточно большим N, и их нормальные расслоения тривиальны, то многообразия М ₁S^N и М ₂S^N h -кобордантны. Если же М ₁ и М ₂ - одного и того же простого гомотопического типа, т. е. кручение этой гомотопич. эквивалентности равно нулю, то

Для h-K.(W; M_o, M_t). и замкнутого многообразия Римеет место h-K.причем =t(W, М ₀)c(Р), где c(Р) - эйлерова характеристика Р. Если dimи P=S¹, то

В частности, кроме того, замкнутые многообразия М ₀ и М ₁ одинаковой размерности h-кобордантны тогда и только тогда, когда

Структура h-K. при n<6 полностью не выяснена (1978). Так, имеет место [8] следующий отрицательный результат: существует h-K.(W; T⁴, Т ⁴), где Т ⁴ - четырехмерный тор, где нет диффеоморфизма Х[0, 1], и поскольку Whp₁T⁴=0, то теорема об s-кобордизме при n= 5 неверна.

Лит.:[1] Новиков С. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, №2, с. 365 - 474; [2] Милнор Д ж., Теорема об h-кобордизме, пер. c aнгл., М. <Д 1969; [3]его же, "Математика", 1967, т. 11, №1, с. 3-43; [4] Смей л С, там же, 1964, т. 8, №4, с. 95-108; [51 Мilnоr J., "Bull. Soc. Math. Prance", 1959, t. 87, p. 439-44; [6] Кеrvairе М., Milnorl., "Ann. Math.", 1963, v. 77, p. 504-37; [7] Mazur В., там же, р. 232-49; [8] Siebenmann L., Topology of Manifolds, Chi., 1963; [9] Kirby R., Siebenmann L., "Bull. Amer. Math. Soc", 1969, v. 75, p. 742-49; [10] Kervaire M., "Lect. Notes Math.", 1967, v. 48, p. 83-95; . [11] Thom R., Topologia algebraico, Мех., 1958; [12] Рурк К., Сандерсон В., Введение в кусочно линейную топологию, пер. с англ., М., 1974.

Ю. Б. Рудяк.