КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА

Значение КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

- группа автоморфизмов нек-рой полуторалинейной формы f на правом K-модуле Е, где К- кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f - либо нулевая, либо невырожденная рефлексивная форма; иногда считается, что Е- свободный модуль конечного типа. Часто под К. г. понимают также и другие группы, тесно связанные с группами автоморфизмов форм (напр., их коммутанты или факторы по центру) или нек-рые их расширения (напр., группы полулинейных преобразований модуля Е, сохраняющие f с точностью до множителя и применения автоморфизма кольца К).

К. г. тесно связаны с геометрией: они могут быть охарактеризованы как группы таких преобразований проективных пространств (а также нек-рых многообразий, связанных с грассманианами, см. [2]), к-рые сохраняют естественные отношения инцидентности. Напр., согласно основной теореме проективной геометрии, группа всех преобразований га-мерного проективного пространства Р над телом К, переводящих любые три коллинеарные точки снова в три коллинеарные точки, совпадает при с К. г. всех проективных коллинеаций пространства Р. По этой причине изучение структуры К. г. имеет геометрический смысл-оно равносильно изучению симметрии (автоморфизмов) соответствующей геометрии.

Теория К. г. наиболее глубоко развита для случая, когда К- тело, а Е- векторное пространство над Кконечной размерности п. Далее эти условия предполагаются выполненными; в этой ситуации классическими наз. обычно группы из следующих (описываемых ниже) серий: GL_n(K), SL_n(K), Sp_n(K),O_n(K,f), U_n(K,f).

1) Пусть f - нулевая форма. Группа всех автоморфизмов формы f совпадает с группой всех автоморфизмов пространства Е(т. е. биективных линейных отображений Ев Е);она обозначается GL_n(K)и наз. полной линейной группой от ппеременных над телом К. Подгруппа в GL_n(K), порожденная всеми трансвекциями, обозначается SL_n (К) и наз. специальной линейной группой (или унимодулярной группой) от ппеременных над телом К. Она совпадает с множеством автоморфизмов, имеющих определитель, равный 1.

2) Пусть f - невырожденная полуторалинейная форма (относительно инволюции J тела К), для которой отношение ортогональности симметрично, т. е.

Такая форма наз. рефлексивной. Группа U_n(K, f) автоморфизмов формы f наз. унитарной группой от ппеременных над телом Котносительно формы f . Имеются лишь две возможности: либо К - поле, J=1 и f - кососимметрическая билинейная форма, либо, умножая f на подходящий скаляр и меняя J, можно добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой или косоэрмитовой формой. Для кососимметрич. формы f группа U_n(K, f ) наз. симплектической группой от переменных над телом К(если char K=2, нужно считать, что f - знакопеременная форма); она обозначается Sp_n(K). Это обозначение не содержит f , поскольку все невырожденные знакопеременные формы на Еэквивалентны и определяют изоморфные симплектич. группы. В этом случае пчетно. Для эрмитовых и кобоэрмитовых форм выделяется случай, когда К- поле характеристики, отличной от 2, J=1, а f - симметрическая билинейная форма. Тогда U_n(K, f )наз. ортогональной группой от ппеременных над полем Котносительно формы f и обозначается О _п( К, f ). Ортогональные группы могут быть определены (особым способом) и для полей характеристики 2 (см. [2]). Часто термин "унитарная группа" употребляется в более узком смысле - для групп U_n(K, f), не являющихся ортогональными или симплектическими, т. е. соответствующих нетривиальным инволюциям J.

К каждой из основных серий К. г. относят также и: их проективные образы PGL_n(K), PSL_n(K), PSp_n(K)_r РО _п( К, f ), PU_n(K, f ), т. е. их факторгруппы по пересечениям с центром Z_n группы GL_n(K). Группу

коммутант W_п( К, f ) группы О _n( К, f ) и группу

и их проективные образы также относят к сериям ортогональных и унитарных К. г. соответственно.

Классическим направлением в теории К. г. является выяснение их алгебраич. строения, к-рое сводится к описанию нормальных рядов подгрупп и их последовательных факторов (в частности, к описанию нормальных делителей и выяснению вопроса о простоте), описанию автоморфизмов и изоморфизмов К. г. (и, более общо, гомоморфизмов), описанию различных типов систем порождающих элементов и соотношений между ними и т. п. Так, основные утверждения о строении групп типа GL_n(K)и SL_n(K)следующие. Коммутантом GL_n(K),является SL_n(K), кроме случая п-2 и K=F₂ (здесь F_q- поле из qэлементов). Центр Z_n группы GL_n(K)состоит из всех гомотетий где a- элемент центра группы К*. Имеется нормальный ряд подгрупп

Группа GL_n(K)/SL_n(K)изоморфна К*/С, где К* - мультипликативная группа тела К, а С- ее коммутант. Группа является центром в SL_n(K)и факторгруппа

является простой во всех случаях, кроме n=2, K=F₂ или F₃. Подробнее см. Полная линейная группа, Специальная линейная группа, Симплектичеспая группа, Ортогональная группа. Унитарная группа. Строение К. г. существенно зависит от ее типа, тела К, свойств формы fи числа п. Для одних типов К. г. оно выяснено весьма детально, для других имеются еще открытые вопросы (последнее относится в основном к случаю групп типа U_n(K, f ), где f - анизотропная форма). Типичным в построении структурной теории К. г. является наличие утверждений, справедливых почти для всех К, f и п, и исследование различных исключительных случаев, когда эти утверждения не выполняются (такие исключения возникают, напр., для небольших значений п, для конечных полей Кмаленького порядка или для специальных значений индекса формы f).

Особое место занимает вопрос об изоморфизмах К. г. Среди всего множества изоморфизмов выделяются типовые изоморфизмы - изоморфизмы между G(n, К, f ) и G'(n', К', f '), определение к-рых не зависит от специальных свойств тела К(кроме, быть может, его коммутативности). Все прочие изоморфизмы наз. нстиповыми. Напр., существует (типовой) изоморфизм Sp₂(K)на SL₂(K), где К- любое поле, или U₂⁺(K, f )на SL₂(K₀), где К - любое поле,f - форма индекса 1 и К ₀- поле инвариантов инволюции J . Подробное описание известных типовых изоморфизмов см. [2], [3]. Из нетиповых изоморфизмов известны следующие:

Известно также, что группы PSL_n(K). и PSL_m(K'), могут быть изоморфны только при n=m, кроме случая при m=n>2 изоморфизм возможен лишь, если тела Ки К' изоморфны или антиизоморфны, это же верно при m=n=2, если Ки К'- поля, кроме случая

Группы PSp_n(K)и PSp_m(K' )могут быть изоморфны только, если п=т и кроме случая m=n=2,

K=F₄, К' =F₅. Между группами PSL_n(K), PSp_m(K), PW_q( К, f), где К- конечное поле, нет никаких других изоморфизмов, кроме указанных выше.

Перечисленные результаты о строении К. г. и их изоморфизмах получены классич. методами линейной алгебры и проективной геометрии. Их основу составляет исследование специальных типов преобразований из К. г. и их геометрич. свойств главным образом, изучение инволюций и плоских вращений. Позднее в теорию К. г. были введены методы теории групп Ли и алгебраич. геометрии, после чего теория К. г. стала частью общей теории полупростых алгебраич. линейных групп, в к-рой К. г. появляются в качестве форм: всякая форма простой алгебраической линейной группы классич. типа (т. е. типа А _п, В _n, С _п или D_n )является К. г. (исключение составляет форма D₄, связанная с внешним автоморфизмом третьего порядка). В случае, когда Кесть Rили С, К. г. естественно снабжается структурой группы Ли, а для р-адических полей - структурой р-адической аналитич. руппы. Это позволяет использовать при изучении таких К. г. топологич. методы, а также, наоборот, получать информацию о топологич. строении многообразия К. г. (напр., о его конечно клеточном разбиении) из знания ее алгебраич. структуры.

В более общей ситуации (когда Е - модуль над кольцом К)результаты о К. г. не столь исчерпывающи (см. [3]). В этой своей части теория К. г. смыкается с алгебраической K-теорией.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] Автоморфизмы классических групп, сб. пер., пер. с англ. и франц., М., 1976; [4] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966.

В. Л. Попов.