КИЛЛИНГА ВЕКТОР

Значение КИЛЛИНГА ВЕКТОР в математической энциклопедии:

точнее-киллинга векторное поле, или инфинитезимальное

движение,- поле скоростей (локальной) однопараметрич. группы движений риманова пространства М. Точнее, векторное поле Xна Мназ. векторным полем Киллинга (к. в. п.), если оно удовлетворяет следующему уравнению Киллинга

где L_X- производная Ли по направлению X,a g- тензорное поле на М, определяющее структуру риманова пространства (риманова метрика). К. в. п. впервые были систематически изучены В. Киллингом [1], к-рый вывел также для них уравнение (*). В полном римановом пространстве любое к. в. п. полно, т. е. является полем скоростей однопараметрич. группы движений. Множество i(М)всех к. в. п. на Мобразует алгебру Ли размерности не более n(n+1)/2, где n=dim М, причем эта размерность равна n(n+1)/2 только для пространств постоянной кривизны. Множество всех полных к. в. п. образует подалгебру в i(M), являющуюся алгеброй Ли группы движений пространства М. Производная Ли по направлению к. в. п. аннулирует не только метрику g, но и все другие поля, к-рые канонически строятся по метрике, напр, тензор кривизны Римана, оператор Риччи и т. д. Это позволяет установить связь между свойствами к. в. п. и тензором кривизны. Так, напр., в точке, где собственные значения оператора Рнччи попарно различны, к. в. п. не может обращаться в нуль.

К. в. п. X, рассматриваемое как функция

на кокасательном многообразии Т*М, является первым интегралом (гамильтонова) геодезич. потока на Т* М, определяемого римановой метрикой. По аналогии, поле Sконтравариантных симметрия, тензоров на Мназ. тензорным полем Киллинга, если соответствующая ему (полиномиальная по слоям) функция

на Т*М является первым интегралом геодезич. потока. Уравнение, задающее тензорное поле Киллинга, также наз. уравнением Киллинга. Множество всех тензорных полей Киллинга, рассматриваемых как функции на Т*М, образует (вообще говоря, бесконечномерную) алгебру Ли относительно скобки Пуассона, задаваемой стандартной симплектич. структурой на Т*М.

Более общо, пусть - геометрич. объект порядка k на многообразии М, т. е. GL^k(n)-эквивариантное отображение многообразия реперов порядка кна Мв пространство W, на к-ром действует группа GL^k(n) k -струй в нуле диффеоморфизмов Rⁿ, сохраняющих начало координат. Векторное поле Xна Мназ. инфинитезимальным автоморфизме м, или полем Киллинга объекта Q, если соответствующая ему (локальная) однопараметрич. группа преобразований j_t многообразия Миндуцирует группу преобразований многообразия реперов Rep^kM, сохраняющую Уравнение, задающее поля Киллинга объекта Q, наз. уравнением Ли - Киллинга, а соответствующий ему оператор - оператором Ли.

Лит.:[1] Кilling W., "J. reine und angew. Math.", 1892, Bd 109, S. 121-80; [2] Рашевский II. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [4] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Коbaуashi S., Transformation groups in differential geometry, В.- Hdlb.- N. Y., 1972; [6] Кumpera A., Spenсеr D., Lie equations. V.1. General theory, N. Y., 1972; [7] Коbayashi S., Nоmizu K., Foundations of differential geometry, v. 2, N. Y., 1969; [8] Егоров И. П., Движения в простран-' ствах аффинной связности, Казань, 1965, с. 5-179.

Д. В. Алексеееский.