|
"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕЗначение КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ в математической энциклопедии: - расширение степени 2 поля рациональных чисел Q. Любое К. п. имеет вид При d>0 поле В качестве фундаментального базиса поля
и
Дискриминант D поля при d=1 (mod 4) и 4dпри d=2,3 (mod 4). Мнимые К. п.- единственный тип полей (кроме Q)с конечной группой единиц. Эта группа имеет порядок 4 для Для вещественных К. п. группа единиц изоморфна прямому произведению Закон разложения простых дивизоров в К. п. допускает простую формулировку: полю Группа классов дивизоров К. п. изучена лучше, чем для других классов полей. В случае мнимых К. п. теорема Бруэра - Зигеля (утверждающая, что для полей алгебраических чисел фиксированной степени выполняется асимптотич. соотношение
где h, R и D- число классов, регулятор и дискриминант поля) показывает, что число классов дивизоров стремится к бесконечности при Абелевы расширения мнимых К. п. в явном виде позволяет строить теория комплексного умножения (см. [5]). Многиэ арифметич. свойства К. п. допускают переформулировку в терминах теории бинарных квадратичных форм. Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; 12] Stark H. M., "Mich. Math. J.", 1967, v. 14, p. 1-27; [3] Ankenу N. С., Сhowla S., "Pacific. J. Math.", 1955, v. 5, p. 321-24; [4] Jamamоtо J., "Osaka J. Math.", 1970, v. 7, p. 57-76; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969, гл. 13. Л. В. Кузьмин. |
|
|
|
где 
т. е. получается присоединением к полю Q элемента 
тогда и только тогда, когда d1=c2d2, где 
Поэтому любое К. п. имеет вид 
где d- целое рациональное число свободное от квадратов, однозначно определяемое этим К. п. В дальнейшем d предполагается именно таким.
наз. вещественным К. п., а при d<0- мнимым.
т. е. базиса кольца целых чисел поля 
над кольцом целых рациональных чисел Z, можно взять
равен соответственно d
(и образующую 
порядок 6 для 
(и образующую 
порядок 2 (и образующую - 1) для всех остальных мнимых К. п.
где 
- группа порядка 2, порожденная числом -1, и {e} - бесконечная циклическая группа, порожденная основной единицей е. Напр., для поля 
можно сопоставить квадратичный характер cна Z по модулю D. Если р - простое число и (D,p)=l, то дивизор (р) прост в 
при c(р)=- 1, и распадается в произведение двух простых дивизоров при c(р)=1.
Имеется ровно 9 одноклассных мнимых К. п. (при d=- 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163, см. [2]). Для, вещественных К. п. неизвестно (1978) конечно или бесконечно число одноклассных полей. Существует бесконечно много К. п. (как мнимых, так и вещественных), число классов к-рых делится на данное натуральное число (см. [3], [4]). Аналогичное свойство для 2-компоненты группы классов следует из теории родов Гаусса.