" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

Значение КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА в математической энциклопедии:

над коммутативным люльцом с единицей - однородный многочлен

от n=n(q)переменных с коэффициентами Обычно R- это поле С, R или Q, либо кольцо Z, кольцо целых элементов алгебраич. числового поля, а также их пополнения по неархимедовым нормам.

Симметрическая квадратная матрица A = A(q)=(a_ij )порядка п, где а _ii=2q_ii, a_ij=a_ji=q_ij, наз. кронекеровой матрицей К. ф. д{х);. обозначение Зигеля: Eсли дискриминантD(q). К. ф. qне равен 0, то qназ. не вырожденной, а если равен 0, то - вырожденной.

К. ф. q(x)наз. гауссовой, если она допускает симметрическую запись:

т. е. найдутся для к-рых q_ij=2b_ij,< <Симметрическая квадратная матрица B=B(q)=(b_ij) наз. матрицей (или гауссовой матрицей) К. ф. q(x). Величина :d=d(g) = det В наз. определителем К. ф. q(x);при этом

D(q) = (-1)^n/22ⁿ d(q), если п(q) четно, D(q) =(- 1)^{( п-1)/2} 2^n-1d(q), если (q)нечетно.

Если R- поле характеристики, отличной от 2, то всякая К. ф. над Л гауссова. Если Л вкладывается в поле Fхарактеристики, отличной от 2, то К. ф. q(x)над R можно рассматривать как гауссову, но с матрицей B=B(q)над Fи

К. ф. q_r и q₂ эквивалентны над R(q₁-q₂), если одна из них преобразуется в другую обратимой в Rлинейной однородной подстановкой переменных, т. е. если найдется такая обратимая квадратная матрица Uнад Л, что A(q₁)=U^TA(q₂)U. Совокупность К. ф. над Л, эквивалентных над Л данной, называется классом К. ф. Дискриминант К. ф., с точностью до квадрата обратимого в Л элемента,- инвариант класса.

Другая точка зрения на К. ф. состоит в следующем. Пусть V- унитарный Л-модуль; отображение q: наз. квадратичным отображением (или квадратичной формой на модуле V, если 1) q(ax) = a²q(x), 2) отображение b_q:

задаваемое равенством

b_q(x, y) = q(x+y) - q(x) - q(y),

является билинейной формой на модуле V. Пара (V, q )наз. квадратичным модулем. Форма b_q всегда является симметрической.

Всякой билинейной форме b( х, у )на Vотвечает К. ф. q(x) = q_b(x)=b(x,x);при этом Если в кольце Л элемент 2 имеет обратный 1/2, то есть взаимно однозначное соответствие между квадратичными и симметричными билинейными формами на модуле V. Если V- свободный Л-модуль ранга пи q - К. ф. на V, то каждому базису е ₁, . . ., е _п модуля Vотвечает К. ф. в классическом понимании

где q_ii=q(e_i), q_ij=b_q(e_i, ej),. Каждая К. ф. q(x₁, ..., х _п )над Л получается таким способом из нек-рого квадратичного модуля (Rⁿ, q). При замене базиса К. ф. q(x₁,... , х _п )переходит в эквивалентную К. ф., и обратно.

Говорят, что элемент представим К. ф. q(или что форма qпредставляет у), если уявляется значением этой формы при нек-рых значениях переменных. Эквивалентные К. ф. представляют одни и те же элементы. К. ф. q(x)над упорядоченным полем наз. неопределенной, если она представляет как положительные, так и отрицательные элементы, и наз. положительно (отрицательно) определенной, если q(x)>0 (соответственно q(x)<0) при всех х неравных 0. Невырожденная К. ф., представляющая 0 нетривиально, наз. изотропной, в противном случае - анизотропной. Аналогично, К. ф. r(y₁, ... , у _т). наз. представим ой К. ф. q, если qпревращается в rпри подстановке нек-рых линейных форм от у ₁, ..., у _т вместо переменных в q, т. е. если существует прямоугольная матрица Sпорядка тХп над Л такая, что A(r) = S^T A(q)S (T- знак транспонирования).

Алгебраическая теория К. ф.- теория К. ф. над полями.

Пусть F- произвольное поле характеристики, отличной от 2. Задача о представлении формы r формой qнад Fсводится к проблеме эквивалентности форм над F, ибо (теорема Полла) для того, чтобы невырожденная К. ф. г была представима невырожденной К. ф. qнад Л, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая форма h = h(x_m+1,... , х _п), что К. ф. r+h и qэквивалентны над F. Здесь r+h - ортогональная прямая сумма форм, т. е. rи hне имеют общих переменных. Теорема Витта о сокращении: если h++q₂, то

Всякая К. ф. над Fэквивалентна диагональной:

a₁x₁²+a₂x₂²+...+a_rx_r²+...+a_nx_n².

Можно считать, что а _1; ... , а _r0, а а _r+1=. . . = a_n=0. Число rназывается рангом К. ф. q n совпадает с рангом матрицы A(q). Если в Fсуществует квадратный корень из любого элемента, то К. ф. над Fэквивалентна форме x₁²+ ...+x_r² (нормальный вид К. ф.).

Всякая невырожденная К. ф. qэквивалентна форме

где q₀ анизотропна; при этом qоднозначно определяет kи класс формы q₀ над F, называемый анизотропным ядром формы q(см. также Bumma разложение). Две формы q₁ и q₂, имеющие одно и то же анизотропное ядро, наз. подобными по Витту. На классах подобия форм определена структура кольца (см. Bumma кольцо).

Пусть F- упорядоченное поле (в частности, поле R)и всякий положительный элемент в Fявляется квадратом. Тогда всякая К. ф. qприводима к форме вида

При этом числа sи r- s(положительный и отрицательный индексы инерции) определены формой однозначно (см. Инерции закон). Тем самым для этих полей разрешается проблема эквивалентности К. ф.

Над полем Q проблема эквивалентности сводится к аналогичной проблеме для полей р-адических чисел: для того чтобы К. ф. q₁ и q₂ были эквивалентны над Q, необходимо и достаточно, чтобы q₁ и q₂ были эквивалентны над Q_p для всех простых чисел ри над Q₀₀ = R. (теорема Минковского - Хассе). Аналогичное утверждение справедливо и для A-полей - алгебраических числовых полей и полей алгебраич. функций от одной переменной над конечным полем констант. Это - частные случаи общего Хассе принципа. В поле проблема эквивалентности решается с помощью Хассе инварианта.

К. ф. qнад полем Fназ. мультипликативной над F, если

где z,- суть рациональные функции от х ₁, . .. , х _п, у ₁,... , у _п над F. Если при этом z_i - билинейныз функции, то говорят, что форма обладает композицией. Композиция возможна лишь в случаях п=2, 4, 8 (теорема Гурвица). Существует простое описание мультипликативных форм [16].

Изложенная алгебраич. теория К. ф. обобщена [7] на случай поля характеристики 2.

Арифметическая теория К. ф.- теория К. ф. над кольцами. Она возникла в связи с задачей о решении диофантовых уравнений 2-й степени. Вопрос о решении таких уравнении сводится к задаче о представлении целых чисел целочисленной К. ф. q, т. е. к задаче решения в уравнения b=q(x₁,... , х _п). Известны алгоритмы, сводящие нахождение (описание) всех решений этого уравнения к проблеме эквивалентности К. ф. над Z, т. е. к задаче отыскания по заданным К. ф.и обратимых матриц Uнад Z, удовлетворяющих условию U^TAU=A₁. Для n=2 эти алгоритмы были построены Ж. Лагранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss), к-рые создали общую теорию бинарных К. ф. На произвольное пони обобщены Г. Смитом (Н. Smith) и Г. Минковским (Н. Minkowski).

Одной из центральных проблем арифметич. теории является задача отыскания простых критериев существования представлений Sформы В[х]формой

т. е. решений матричного уравнения

а также задача построения формул для числа R(q, r)= R(A, В )таких представлений. При этом, если число представлений бесконечно, то речь идет о числе В'(q, r)"существенно различных" представлений (представления Sи S' отождествляются, если S'=VS, где V - целочисленный автоморфизм формы q{x), т. е. V^TAV=A). Необходимым условием существования представлений является разрешимость уравнения (1) над R и разрешимость над Z матричного сравнения

по любому g. (Для разрешимости всех сравнений (2) достаточна разрешимость (2) при g=g_o=8D(q)D (r). )Эти необходимые условия, наз. "родовыми", равносильны разрешимости (1) над Z _р для любого простого числа ри над Они равносильны также разрешимости (1) над полем рациональных чисел Q "без существенного знаменателя", т. е. существованию рационального решения Sс общим знаменателем, взаимно простым с любым наперед заданным числом g(достаточно ограничиться числом g=g₀). Условия разрешимости сравнений (2) можно выразить через родовые инварианты форм q и r. Число решений сравнения (2) находится с помощью сумм Гаусса.

Род К. ф. над - множество K. ф. над эквивалентных друг другу над для всех простых р, включая Z_oo =R. Род К. ф. состоит из конечного числа классов одного и того же дискриминанта. Род К. ф. q(x)=может быть задан конечным набором родовых инвариантов - инвариантов порядка, выражаемых через элементарные делители матрицы А, и характеров рода Род может быть задан также значениями сумм Гаусса. Существенную роль в теории К. ф. играет также понятие спинорного рода, более тонкое, чем понятие рода.

Число R'(q, r )существенно различных представлений формы г формой qпросто связано с числом R'₀(q, r )существенно различных примитивных представлений, т. е.. таких представлений S, что наибольший общий делитель миноров порядка тматрицы равен 1. Для величины

(усреднения функции R'₀(q, r )по роду формы q), где q₁, . . . , q_l - представители всех классов рода формы q(из каждого класса по одному), имеются (см. [11], [15]) формулы, выражающие S₀(q, r )через число решений нек-рых сравнений. В случае, когда род формы qсостоит из одного класса, эти формулы полностью решают вопрос о числе представлений. В случае многоклассных родов известны лишь асимптотич. формулы для R(q, r), а также точные формулы для нек-рых конкретных К. ф.

продолжение Квадратичная форма...

Аналитическая теория К. ф. Аналитич. методы в теорию К. ф. были введены П. Дирихле (P.Dirichlet). Развивая эти методы, К. Зигель (К. Siegel) пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм.

Пусть q(x₁,..., х _п)=. и r(x₁, ... , х _т) =- положительно определенные К. ф. над Z. Число

наз. зигелевым средним по роду для числа представлений R(q,r) формы rформой q. Здесь E(qi)- число автоморфизмов формы q;,

- вес рода К. ф. q. Пусть

где О - окрестность точки r=r (х)в m(m+1)/2-мерном пространстве m-арных К. ф. над R, J' - соответствующая область решений S₁ матричного уравнения (1) над R, a V(J)и F(J') - их объемы.

Формула Зигеля для К. ф. qи r имеет вид

где х=¹/₂, если n=m>1 или n=m+i и t=1 в остальных случаях. Здесь

где предел берется по таким последовательностям g, что любое натуральное число является делителем почти всех g,a w₀(g)- число различных простых делителей g,w_n-m(g) = 0, если п>т,a R_g(q, r)- число представлений формы r формой qпо модулю g, т. е. число решений матричного сравнения

Справедливо равенство

Имеется ряд равносильных определений для H(q, r )и (см. [17]) выражение через обобщенные суммы Гаусса. Формула (3) содержит, как частный случай, формулу Минковского для веса рода:

последняя в случае п=2 дает формулу Дирихле для числа классов.

Формулы, аналогичные (3), имеют место и для неопределенных К. ф. и форм с целыми алгебраич. коэффициентами (см. [17], [18]).

Приложение теории модулярных форм к исследованию мультипликативных свойств количества представлений чисел положительными К. ф. с четным числом переменных было дано Э. Хекке (Е. Несkе, [10]). Теория модулярных форм позволяет получать формулы для R(q, b )(см. обзор [5]).

К вопросу о представлении чисел К. ф. от четырех и более переменных применяется круговой метод (см. [4]). Если q- положительно определенная К. ф. над Z, то применение кругового метода приводит для к асимптотич. формуле

Подобные асимптотич. формулы могут быть получены круговым методом и для неопределенных К. ф. при n 4.

Для исследования R (q, b )в случае n=3 применяется дискретный эргодический метод Линника (см. [3], [4]). Он заключается в том, что на нек-ром множестве представлений чисел тернарными К. ф. устраивается эргодический поток представлений, управляемый оператором, связанным с задачей представления чисел кватернарными К. ф. Эргодический. метод приводит (при выполнении необходимых условий) к оценке типа

R(q, b)> ch(-Db), с = c (q)> 0; в ряде случаев получены и асимптотич. формулы.

Для исследования таких вопросов теории К. ф.,как теория приведения, автоморфизмы, арифметич. минимумы К. ф., Ш. Эрмитом (Ch. Hermite) был развит метод непрерывных параметров, превратившийся затем в обширный раздел теории К. ф.- геометрическую теорию К. ф., или геометрию К. ф. (к-рую можно рассматривать и как часть Геометрии чисел). Идея метода состоит в следующем. Заданной n-мерной точечной решетке ставится в соответствие та или иная арифметич. величина и рассматривается поведение функции при малых изменениях параметров решетки Л. Характерной чертой геометрии К. ф. является систематич. использование n(n+1)/2-мерного пространства коэффициентов (параметров), в к-ром решетка Л изображается точкой. Пусть - К. ф. с действительными коэффициентами а _ij= а _ji (i, j=1, . .. , n). Форме f ставится в соответствие точка f=(а ₁₁, . . . , а _пп, а ₁₂, . . . , а _-1,n) в N-мерном евклидовом пространстве, N=n(n+1)/2, называемом пространством коэффициентов. Положительно определенным формам f при этом отвечает открытый выпуклый конус B с вершиной в начале координат, называемый конусом положительности. Решетке Л соотносится класс эквивалентных n-арных положительно определенных К. ф.; при базисе [ ..., ] решетки L ей ставится в соответствие форма

Тем самым решетке Л соответствует бесконечное дискретное множество точек конуса положительности Если выбрать точную область приведения положительно определенных К. ф., то каждой решетке будет взаимно однозначно соответствовать точка пространства коэффициентов. Малым изменениям параметров решетки Л отвечают малые изменения точки

Геометрическая теория К. ф. распадается на ряд достаточно самостоятельных теорий, связанных единым методом исследования. Фундаментом ее является теория приведения положительных К. ф., к-рая, изучая области приведения решает проблему эквивалентности положительных К. ф.- одну из центральных задач арифметич. теории К. ф. (см. Квадратичных форм приведение).

Существенную роль играет теория Вороного типов решетки. Она имеет важные приложения в теории параллелоэдров. Теория типов получила применение в решении задач об экономнейшем решеточном покрытии n-мерного пространства шарами.

Другой традиционный раздел геометрич. теории К. ф.- теория совершенных форм, также созданная Г. Ф. Вороным. Эта теория позволила решить Эрмита проблему арифметич. минимумов положительных К. ф., равнозначную задаче о плотнейшей решетчатой упаковке шаров в га-мерном пространстве. Задача о плотнейшей решетчатой упаковке шаров и задача об экономнейшем решетчатом покрытии шарами - наиболее известные примеры экстремальных задач, составляющих значительную часть К. ф. геометрии.

К геометрической теории К. ф. можно также отнести нек-рые обобщения алгоритма цепных дробей, напр, алгоритм Вороного вычисления единиц кубического поля, теорию фундаментальных областей автоморфизмов неопределенных К. ф.

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Делоне Б. Н., "Успехи матем. наук", 1937, в. 3, с. 16-62; 1938, в. 4, с. 102-64; [3] Линник Ю. В., Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [4] Малышев А. В., О представлении целых чисел положительными квадратичными формами, М.- Л., 1962; [5] его же, в кн.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974, с. 119-37; [6] Серр Ж. - П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [7] Аrf С, "J. reine und angew. Math.", 1941, Bd 183, S. 148-67; [8] Eichler M., Buadratische Formen und orthogonale Gruppen, 2 Aufl., В., 1974; [9] Hasse H., "J. reine und angew. Math.", 1923, Bd 152, S. 129 -48, 205 -24; 1924, Bd 153, S. 12-43, 76-93, 113 - 30, 158-62, 186-207; [10] He eke E., Mathematische Werke, Gott., 1959; [11] Jones B. W., The arithmatic theory of quadratic forms, N. Y., 1950; [12] L a m T. Y., The algebraic theory of quadratic forms, Reading, 1973; [13] Minkоwski H., Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-2, Lpz. - В., 1911; [14] O'Mearа О. Т., Introduction to quadratic forms, В., 1963; [15] Pall G., "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 344-64; [16] Pfister A., "Arch. Math.", 1965, Bd 16, S. 363-70; [17] Siege 1 C. L., Lecturis on the analytical theory of quadratic forms, 3 ed., Gott., 1963; [18] его же, Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-3, В., 1966; [19] Smith H. J. S., The collected mathematical papers, v. 1-2, Oxf., 1894; [20] Watson G. L., Integral quadratic forms, Camb., 1960; [21] Фоменко О. М., Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 5 - 91.

А. В. Малышев.