" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Значение КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ в математической энциклопедии:

- математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре (см. [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре широко пользовался геомотрич. методами, рассматривая решения систем дифференциальных уравнений как кривые в соответствующем пространстве. На основе этого рассмотрения он создал общую теорию поведения решений дифференциальных уравнений (д. у.) 2-го порядка, разрешил ряд фундаментальных проблем о зависимости решений от параметров (см. ниже). А. М. Ляпунов изучал поведение решений в окрестности состояния равновесия. Он создал современную теорию устойчивости движения (см. Устойчивости теория).

Геометрическое направление А. Пуанкаре было развито в 20-х гг. 20 в. Дж. Биркгофом, открывшим многие важные факты качественной теории многомерных систем д. у. (см. [5], [6]).

Линейные системы. Рассматривается система д. у.

где Р(х)- квадратная матрица порядка п. Предполагается, что Р(х)ограничена (в случае неограниченности имеется лишь небольшое число весьма специальных исследований). В К. т. д. у. изучается асимптотич. поведение решений системы (1) при

Характеристическим показателем решения у(х)наз. величина

характеризующая рост решения в сравнении с экспоненциальной функцией. Каждое ненулевое решение системы (1) имеет конечный характеристич. показатель. Характеристич. показатели ненулевых решений наз. также характеристическими показателями системы. Линейная система не может иметь более чем празличных характеристич. показателей. Характерпстич. показатели системы не меняются при линейной замене переменных:

в к-рой матрица U(x)ограничена вместе и и ^-1.

Такие преобразования наз. преобразованиями Ляпунова.

В случае, когда матрица Р(х)постоянна, характеристич. показатели системы (1) суть действительные части собственных значений матрицы Р.

Линейная система наз. приводимой, если существует преобразование Ляпунова (2), приводящее эту систему к виду (1), но с постоянной матрицей Р(см. [7], [8]).

В случае, когда матрица Р(х)имеет период w, фундаментальная матрица Ф (х)(т. е. матрица, составленная из линейно независимых решений) представляется по теореме Флоке (см. [9]) в следующем виде:

где О(х)есть w-периодическая, а А- постоянная матрицы. При этом, если Р(х)- вещественная матрица, не всегда можно Аи Q(х)выбрать вещественными, однако в представлении (3) их можно выбрать таковыми при условии, что Q(x)имеет период 2w. Из формулы (3) следует, что система (1) с периодич. матрицей Р(х)приводима (теорема Ляпунова). Формула (3) показывает, что для вычисления характеристич. показателей требуется знать лишь Ф(w), т. е. надо вычислить празличных решений на промежутке О<х<w. Линейные системы с периодич. коэффициентами изучены весьма подробно (см. [8], а также Линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами).

Линейная система обладает свойством устойчивости асимптотич. поведения решений по отношению к малым возмущениям самой системы. Важной характеристикой линейной системы с этой точки зрения является правильность в смысле Ляпунова (см. [3]).

А. М. Ляпунов доказал (это составляет сущность его первого метода в теории устойчивости), что правильная система устойчива по отношению к аналитическим нелинейным возмущениям.

Одной из интересных задач качественной теории линейных д. у. является проблема колеблемости решений таких уравнений (см. Колеблющееся решение), т. е. проблема распределения нулей решений. Напр., если р(х)>a>0 при всех х, то всякое решение уравнения

имеет бесконечно много нулей на промежутке 0<x<, причем нули двух линейно независимих решений чередуются (см. [10]).

Нелинейные системы. Рассматриваются общие системы нелинейных д. у. в нормальной форме:

Наиболее детально изучены автономные системы:

Пространство векторов удля системы (5) наз. фазовым. Система (4) приводится к автономному виду (5) с помощью увеличения порядка на единицу. Автономная система вида (5), в случае если все ее решения продолжимы на всю ось определяет дина мическую систему.

Пусть у=у( х, y₀) - решение системы (5) с начальными данными х=0, у=у ₀. Кривая фазового пространства у=у( х, у ₀),наз. траекторией, а ее части, соответствующие - полутраекториями. Особую роль играют траектории, вырождающиеся в точку: у( х, у ₀)=у ₀;это происходит, если Y(y₀) = 0. Такие точки наз. состояниями равновесия. Другой важный тип траекторий - траектории периодич. решений, представляющие собой замкнутые кривые в фазовом пространстве. Замкнутую траекторию наз. предельным циклом, если к ней стремится хотя бы одна траектория, отличная от нее.

Важная задача качественной теории нелинейных систем - изучение асимптотич. поведения всех решений при Для автономных систем вида (5) эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Предельное множество всякой полутраектории замкнуто и инвариантно (множество фазового пространства нач. инвариантным, если оно состоит из целых траекторий). Если полутраектория ограничена, то ее предельное множество связно.

В случае, когда n=2, т. е. когда фазовое пространство представляет собой плоскость, А. Пуанкаре (см. [1]) и И, Бендиксон (I. Bendixon, см. [11]) дали исчерпывающее описание возможного расположения траекторий. В предположении, что уравнение Y(у) = 0 имеет лишь конечное число решений в ограниченной части плоскости, они доказали, что предельное множество любой ограниченной полутраектории может быть одного из трех следующих типов: 1) одно состояние равновесия, 2) одна замкнутая траектория, 3) конечное число состояний равновесия и траектории, стремящиеся к этим состояниям равновесия при А. Пуанкаре

[1] и А. Данжуа [12] рассмотрели случай уравнения 1-го порядка вида (4) с правой частью, периодичной по обоим аргументам уи х. Такие уравнения удобно рассматривать на торе (см. Дифференциальные уравнения на торе). Расположение решений в этом случае существенно зависит от числа вращения, определяемого формулой

Если m рационально, то существуют периодические решения; если mиррационально, то периодич. решений нет. При этом, если функция У достаточно гладкая, то все решения суть квазнпериодич. функции с двумя частотами.

В случае n>2 такого четкого описания возможного поведения траекторий дать не удается. Однако имеется много сведений, касающихся предельного поведения решений многомерных автономных систем. Имеет место следующий результат Дж. Биркгофа. Пусть замкнутое, ограниченное, инвариантное множество фазового пространства наз. минимальны м, если оно не содержит истинного подмножества с теми же свойствами. Всякое минимальное множество представляет собой замыкание рекуррентной траектории. Таким образом, в предельном множестве всякой ограниченной полутраектории содержится рекуррентная траектория.

В том важном частном случае, когда система имеет инвариантную меру, исследование общих закономерностей поведения решений проведено весьма детально (см. [5], [22]).

Особый интерес для приложений представляют грубые системы, т. е. системы, устойчивые по отношению к малым в смысле С ¹ возмущениям правых частей, Для случая n=2 А. А. Андронов и Л. С. Понтрягия [13] сформулировали условия, необходимые и достаточные для грубости. В частности, они показали, что в ограниченной части плоскости существует лишь конечное число периодич. решений. В случае n>2 поведение грубых систем значительно сложнее. С. Смейл (S. Smalе, [14]) указал пример грубой системы, имеющей бесконечно много периодич. решений в ограниченной части фазового пространства.

Многочисленные исследования посвящены изучению глобальных свойств конкретных систем д. у. В связи с запросами теории автоматич. управления в 50-х гг. 20 в. была развита новая отрасль К. т. д. у.- теория устойчивости движения в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы - системы вида (4), у к-рых все решения с ростом времени попадают в нек-рую ограниченную область. Свойства диссипативных систем изучены весьма детально. Построены сравнительно надежные методы, позволяющие устанавливать диссипативность конкретных систем (см. [15]).

Одной из проблем К. т. д. у. является проблема существования периодич. решений. Для доказательства существования таких решений часто используют топологич. приемы, в частности различные критерии существования неподвижпой точки. Многие теоремы такого рода были доказаны применением принципа тора. При n=2 этот принцип вырождается в классический принцип кольца Пуанкаре.

Полное качественное исследование нелинейных систем д. у. удается дать лишь в весьма частных случаях. Напр., было доказано (см. [16]), что Льенара уравнение

при весьма естественных предположениях имеет единственное периодич. решение, а все остальные его решения стремятся к этому периодическому.

Относительно уравнения Ван дер Поля с возмущением

при больших значениях параметра кбыли установлены в числе других следующие интересные факты (см. [17]). При специальном выборе параметра bуравнение имеет два асимптотически устойчивых решения с периодами (2т+1)2p/l и (2п-1)2p/l, где п- натуральное достаточно большое число, "большинство" остальных решений стремится к этим двум. Имеется, кроме того, счетное множество неустойчивых периодич. решений и континуум рекуррентных непериодических.

Локальная теория. Качественное исследование нелинейной системы д. у. (4) значительно упрощается, если его требуется провести не во всем пространстве у, х, а лишь в окрестности заданного решения. В этом случае простой заменой переменных проблема сводится к изучению следующей системы д. у.:

где вектор-функция У в определенном смысле мала в сравнении с у. Исследование поведения решений системы (6) в окрестности состояния равновесия у=0 и составляет предмет локальной К. т. д. у.

Важное место в этой теории занимает проблема устойчивости нулевого решения системы (6). Нулевое решение наз. устойчивым, если решение y=у( х, y₀) непрерывно по y₀ при y₀=0 равномерно относительно

В локальной К. т. д. у. наиболее полно исследован случай постоянной матрицы Р(х). К этому случаю сводится проблема исследования окрестности состояния равновесия и периодич. решения автономной системы.

Описание поведения решений системы (6) в окрестности у-0 сравнительно просто, если матрица Рпостоянная и все ее собственные значения имеют ненулевые действительные части. В этом случае дело сводится к следующему фундаментальному результату Ляпунова - Перрона (см. [1], [18]). Пусть ксобственных значений постоянной матрицы Римеют отрицательные действительные части, а остальные п-ксобственных значений имеют положительные действительные части. Тогда в пространстве усуществуют два многообразия Ми Nразмерности ки п-k, соответственно, такие, что если , то у( х, у ₀) 0 при а если то при х все остальные решения покидают окрестность начала координат как при возрастании, так и при убывании х. Случаи, когда матрица Римеет собственные числа с нулевыми действительными частями, наз. критическими.

А. М. Ляпунов дал исчерпывающее описание поведения решений системы (6) в окрестности начала координат в случаях, когда постоянная матрица Римеет одно нулевое или два чисто мнимых собственных числа, все остальные собственные числа имеют отрицательные действительные части, а вектор-функция У не зависит от x и аналитична (см. [3]). Основополагающие результаты в локальной качественной теории автономных систем 2-го порядка принадлежат А. Пуанкаре [1], А. М. Ляпунову [3, 4], И. Бендиксону [11] и М. Фроммеру (М. Frommer, [19]).

Пусть рассматривается система уравнений

где Р _т и Q_m- формы, степени m, а функции Y и Zмалы в сравнении с величиной (y²+z²)^m/2. Пусть состояние равновесия, расположенное в начале координат, изолировано. В этом случае для системы (7) либо существует решение, стремящееся к началу, либо в любой окрестности начала существует замкнутая траектория. Во втором случае либо все траектории, лежащие в окрестности начала, замкнуты (расположение типа центр), либо в любой окрестности начала существуют как замкнутые, так и незамкнутые траектории (расположение типа центрофокус). Показано, что в случае аналитических У и Zцентрофокус невозможен (см. [20]). Далее, если траектория стремится к началу координат, то либо она имеет в начале определенную касательную, либо вдоль нее полярный угол не ограничен. В последнем случае - расположение типа фокус. Касательными к траекториям, стремящимся к началу, могут быть лишь прямые, на к-рых аннулируется величина Q_my- Р _mz. Такие прямые наз. исключительными направлениями. Для достаточно гладких У и Z разработаны алгоритмы, позволяющие выяснить наличие и количество траекторий, входящих в начало вдоль данного исключительного направления. Это позволяет в случаях, когда существуют траектории, входящие в начало с определенной касательной, полностью описать поведение траекторий в окрестности начала.

Если исключительные направления отсутствуют или все они "проходятся" решениями (т. е. не существует решений, входящих в начало с определенной касательной), то возникает центра и фокуса проблема.

Зависимость поведения решений от параметров системы. Одной из центральных проблем К. т. д. у. является проблема поведения решений системы, близкой к данной, при условии, что свойства этой последней известны. Рассматривается система

где m - параметр. Пусть порождающая система, т. е. система (8) при m= 0, обладает нек-рым свойством. Ставится вопрос, обладает ли тем же свойством система (8) при малых, но отличных от нуля, m. Классическим примером такой задачи является задача Пуанкаре (см. [2]) о существовании периодических решений. Пусть векторы Y и R имеют период со по х, а порождающая система обладает w-периодическим решением. В этом случае проблема сводится. к рассмотрению квазилинейной системы

где А- постоянная матрица. Оказывается, что если собственные числа Аотличны от 2pki/w, где k- целое число, то система (9) имеет при достаточно малых m единственное w-периодич. решение j(x, m), непрерывное по m, и j(x, 0) = 0. В случае, когда матрица Аимеет собственные числа вида 2pki/w, вопрос о существовании и количестве периодич. решений существенно зависит от вида возмущения R( у, х,m). При решении проблемы существования периодич. решений в этом случае весьма полезным оказывается метод усреднения (см. Крылова- Боголюбова метод усреднения).

Аналогичные вопросы ставятся и для других типов решений: ограниченных, рекуррентных, почти периодических и т. д. Напр., если вектор Rравномерно почти периодичен по х, а все собственные числа матрицы 4 имеют непулевые действительные части, то система (9) при достаточно малом m имеет единственное почти периодич. решение (см. [21] ).

Малого параметра методом исследуются также вопросы существования у системы (8) интегральных множеств с определенными свойствами. Н. Н. Боголюбов (см. [21] ) рассмотрел с этой точки зрения следующую важную для приложений систему:

где j есть k-мерный, хесть n-мерный векторы, а- постоянный k-мерный вектор, А- постоянная матрица, все собственные числа к-рой имеют ненулевые вещественные части. Векторы R и Ф имеют период 2p по компонентам вектора ср. При m=0 система (10) имеет интегральную поверхность х=0. Н. Н. Боголюбов доказал, что при достаточно малом m система (10) имеет интегральную поверхность:

где функция f имеет период 2p по компонентам j и f(t,j, 0) = 0. При этом, если векторы Ф и Rявляются w-периодичными по t, то вектор f также w-периодичен по t. Если все собственные числа матрицы Аимеют отрицательные действительные части, то интегральная поверхность x=f асимптотически устойчива. Отсюда, в частности, вытекает, что если в системе (8) вектор У не зависит от x и при m==0 эта система имеет асимптотически устойчивое по первому приближению периодич. решение, то при достаточно малых m. система (8) имеет в пространстве у, х двумерное, цилиндрическое асимптотически устойчивое интегральное многообразие.

Лит.:[1] Пуанкаре А.. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; [2] Роinсаre H., Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. 1 - 3, P., 1892 - 99; [3] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950; [4] его же, "Матем. сб.", 1893, т. "17, в. 2, с. 253-333; [5] Биркгоф Д. Д., Динамические системы, пер. с англ., М., 1941; [6) Вirkhoff G. D., "Acta Math.", 1922, v. 43, p. 1-119; [7] Epyгин Н. П., Приводимые системы, Л.- М., 1946; [8] его же, Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963; [9] Floquet M. G., "Ann. set. Ecole norm. super.", 1883, ser. 2, t. 12, p. 47-89; [10] Sturm J. С h., "J. math, pures et appl.", 1836, p. 106-86; [11] Бендиксон И., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 191-211; [12] Dеnjоу A., "J. math., pures et appl.", 1932, ser. 9, t. 11, № 3, p. 333-75; [13] Андронов А. А., Понтрягин Л. С, "Докл. АН СССР", 1937, т. 14, № 5, с. 247 - 50; [14] Смейл С, "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 1, с. 11.3-85; [15] Плис с В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М.- Л., 1964; [16] Levinson N., SmithO. К., "Duke Math. J.", 1942, v. 9, 345 2, p. 382-403; [17] Littlewood J. E.."Acta math.", 1937, v. 97, Ks3 - 4, p. 267-308; [18] Perron O., "Math. Z.", 1928, Bd 29, S. 129-60; [19] Фроммер М., "Успехи матем. наук", 1941, в. 9, с. 212-53; [20] Dulас Н., "Bull. Soc. math. France", 1923, t. 51; [21] БoголюбовН. Н.,0 некоторых статистических методах в математической физике, К., 1945; [22] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, М., 1949; [23] Андронов А. А. и др., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [24] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [25] Лефшец С, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.

В. А. Плисc.