" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА ЗАДАЧА

Значение КАРАТЕОДОРИ - ФЕЙЕРА ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

- задача о продолжимости многочлена от z до степенного ряда, представляющего собой регулярную в круге |z|<1 функцию, реализующую наименьшее значение супремума модуля в круге |z|<1 в классе всех регулярных в |z|<1 функций, к-рые имеют начальным отрезком своего разложения в ряд Маклорена данный многочлен. Решение этой задачи дается следующей теоремой.

Теорема Каратеодори-Фейера [1]. Пусть - данный многочлен,Существует единственная рациональная функция R(z) = B(z, с ₀, с ₁,..., c_n-1) вида

регулярная в |z|<1 и имеющая в своем разложении в ряд Маклорена ппервых коэффициентов, равных соответственно с ₀, с ₁, ..., c_n-1. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

в классе всех регулярных в круге |z|<l функций f(z) вида и указанное наименьшее значение равно l=l( с ₀, с ₁,...,с _n-1).

Число l( с ₀, c_t,...,c_n-1) paвно наибольшему положительному корню уравнения 2n-й степени

Если с ₀, с ₁,..., с _n-1 - действительные числа, то l( с ₀, c_l. ..., c_n-1) является наибольшим из абсолютных значений корней уравнения n-й степени

Лит.:[1] Caratheodory С, Fejer L. "Rend Circolo mat. Palermo", 1911, v. 32, p. 218-39; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.

Г. В. Кузьмина.