ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ

Значение ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ в математической энциклопедии:

- такой объект I абелевой категории С, что для каждого мономорфизма а : отображение

является сюръективным. Всякий инъективный подобъект I объекта А. выделяется прямым слагаемым. Произведение И. о. - всегда И. о. В случае, когда каждый объект в Сизоморфен подобъекту нек-рого И. о. категории С, говорят, что С- категория с достаточно многими инъективными объектами (такова, напр., категория Гротендика). В этих категориях объект инъективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым из любого объекта, его содержащего. Для объектов таких категорий можно строить резольвенты, состоящие из И. <о. (инъективные резольвенты), что позволяет развивать в этих категориях гомологическую алгебру.

В локально нётеровых категориях (см. Топологизированная категория )прямая сумма И. о. является И. о., а каждый И. о. изоморфен прямой сумме неразложимых И. о. и это представление однозначно [3]. Если С- категория модулей над нётеровым коммутативным кольцом Л, то неразложимые инъективные модули суть инъективные оболочки полей частных факторколец где - произвольный простой идеал в L[4].

Примеры: 1) Категория абелевых групп имеет достаточно много И. о. Таковыми объектами являются полные (делимые) группы.

2) Категория правых R-модулей содержит достаточно много И. о. (см. Инъективный модуль).

3) Категория пучков модулей на окольцованном топологич. пространстве (X, О _X )содержит достаточно много И. о. Примерами таких И. о. служат пучки F, все слои к-рых F_x являются инъективными О _{X, х}- модулями. В случае, когда (X, О _X )есть схема, для квазикогерентных О _{X, x} -модулей верно и обратное утверждение: всякий И. о. есть пучок, все слои к-рого являются инъективными О _{X, x} -модулями.

Лит.: [1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [3] Gabriel P., "Bull. Soc. Math. Prance", 1962, t. 90, p. 323-448; [4] Matlia E., "Pacific J. Math.", 1958, v. 8, p. 511-28.

И. В. Долгачев.