ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС

Значение ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС в математической энциклопедии:

- процесс получения последовательности интерполирующих функций {f_n(z)} при неограниченном возрастании числа n условий интерполирования. Если интерполирующие функции f_n(z)представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда наз.

интерполяционным рядом. Целью построения И. п. чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком-то смысле посредством интерполирующих функций f_n(z)исходной функции f (z), о к-рой или имеется неполная информация или форма к-рой слишком сложна для непосредственного использования.

Довольно общая ситуация, связанная с построением И. п., описывается следующим образом. Пусть (a/ft), j=0, 1, ...- бесконечная треугольная таблица произвольно заданных комплексных чисел

наз. узлами интерполяции. Пусть, наряду с таблицей (1), имеется таблица аналогичного вида (w_jk), j=0, 1, ..., также составленная из произвольно заданных комплексных чисел w_jk.

Если в п-и строке а _nk, k = 0,1, . .., п, таблицы узлов (1) нет совпадающих чисел, или, как еще говорят, вся эта строка состоит из простых узлов, то, пользуясь, напр., Лагранжа интерполяционной формулой, строится (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен р _п(z) степени ве выше п, удовлетворяющий простым условиям интерполяции

Если же точка а _п0 является кратным узлом кратности v₀>l в п-в. строке, т. е. встречается в этой строке v₀ раз: a_n0=a_nk1=...= a_nkv0_₁, то соответствующие условия кратного интерполирования в узле а _n0 имеют вид

В общем случае при наличии кратных узлов (единственный) алгебраический интерполяционный многочлен p_n(z)степени не выше пстроится по этим условиям, напр., по Эрмита интерполяционной формуле. В качестве примера системы узлов (1) можно привести систему j+1, j=0, 1, . . ., равноотстоящих узлов а _jk=e²^p^ik^/(j+1) на единичной окружности, применяемую в случае так наз. интерполяции в корнях из единицы (см. [5]).

В результате осуществляемого таким путем И. п. получается последовательность интерполяционных многочленов {p_n(z)}, определяемая таблицами (a_jk) и (w_jk). Основными вопросами, здесь возникающими, являются: определить в зависимости от (a_jk) и (w_jk )множество EМ C точек сходимости последовательности {p_n(z)}, в к-рых существует предел определить характер предельной функции g(z); определить множество FМ E, на к-ром сходимость p_n(z)q(z). равномерная; и т. д.

В теории функций комплексного переменного наиболее изучен случай, когда таблица (w_jk) строится по . значениям регулярной аналитич. функции f(z) и ее производных в узлах интерполяции так, что (применительно к узлу а _п0 кратности ср. (3))

В этом случае интерполяционный многочлен р _п(r)можно записать по формуле Эрмита в виде интеграла по контуру Г, охватывающему узлы a_nk, k = 0, 1, ..., п, на к-ром и внутри к-рого f(z)регулярна:

Из формулы (4) легко получается и интегральное представление остаточного члена интерполяции R_n(z)=f(z)-p_n(z). Вообще говоря, последовательность {p_n(z)}, построенная по f(z), может расходиться. Если же она сходится, то предельная функция q(z)может не совпадать с f(z). Основным вопросом является изучение сходимости {p_n(z)}к f(z) и нахождение таких систем узлов (a_jk), для к-рых сходимость в каком-то смысле оптимальная. Пусть, напр., функция f(z) регулярна на континууме содержащем не менее двух точек, дополнение к-рого до расширенной плоскости есть односвязная область, содержащая бесконечно удаленную точку. Пусть узлы (a/ft) принадлежат К. Тогда для того, чтобы И. п. {p_n(z)}равномерно сходился на Кк f(z), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

где M_n=sup {|w_n(z)|; }, с - емкость множества К (см. [4]).

Классический вариант И. п. получается, когда узлы a_jk=a_k. j=0, 1, .. ., составляют последовательность {a_k}, из к-рой на n-м шаге для получения многочлена р _n(z) используются первые n+1 узлов а ₀, а ₁, ..., а _п. В этом случае для регулярной функции f(z)многочлены р _n(z) суть частные суммы интерполяционного ряда Ньютона

При вычислениях интерполяционный ряд вида (5) имеет то преимущество перед последовательностью {р _n(z)}, что для перехода от уже известного многочлена p_n(z)к p_n+1(z). необходимо вычислить только один коэффициент ряда с _n+1. В зависимости от расположения узлов a_k и значений коэффициентов с _k, областью сходимости ряда Ньютона может быть любая односвязная область плоскости С с аналитич. раницей. В частности, напр., если последовательность узлов {a_k} имеет предельную точку только в бесконечности, и ряд (5) сходится хотя бы в одной точке k=0, 1, ..., то он сходится равномерно в любом круге и, следовательно, его сумма q(z)есть целая функция. Интерполяционный ряд Стирлинга есть частный случай ряда Ньютона для последовательности узлов a₀ = 0, а ₁=-1, а ₂ = 1, ..., a_2k-1=-k,a_2k= k, ... Исследованы и другие разновидности интерполяционных рядов (см. [3], [5]).

Объектами изучения являются также И. п. с неалгебраическими интерполяционными полиномами p_n(z) = составленными по другим системам функций {j_v(z)}, отличным от системы степеней {z^v}, напр., по системе {e^a^vz} (см. [4], [6]).

Изучение И. п. в действительной области имеет свою специфику как в постановке задач, так и в результатах (см. [2], [4]). Эта специфика обусловлена прежде всего естественным в действительной области отказом от требования регулярности интерполируемой функции f(x). Известно, напр., что никакая система узлов на отрезке [а, b]не гарантирует сходимости И. п. для произвольной непрерывной функции f(x), С другой стороны, если непрерывная функция f(х)наперед задана, то всегда можно выбрать систему узлов так, чтобы И. п. сходился к f(x).

Кроме И. п. с интерполяционными полиномами p_n(z)внимание исследователей привлекают И. п. с рациональными функциями r_n(z), напр, вида r_n(z)= q_n(z)/w_n_₁(z), где w_n_₁(z)=(z-b₀) ...(z-b_n-1) и q_n(z)- многочлен степени не выше п. Условия интерполяции (1) - (3) остаются в силе, но теперь должно быть добавлено условие на полюсы b_k, k=0,1,..., к-рые в простейшем случае задаются в виде треугольной таблицы (b_jk), j=0, 1, ..., аналогичной (1).

См. также Абеля- Гончарова проблема, Бернштейна интерполяционный процесс.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967; [2] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [3] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 2 изд., М., 1959; [4] Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М., 1964; [5] У олш Дж. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; [6] Леонтьев А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.