ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Значение ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ в математической энциклопедии:

- теория, предназначенная для учета ошибок округления при проведении расчетов на цифровых вычислительных машина (ЦВМ). Так как точное. <представление чисел невозможно в машине с конечной разрядной сеткой, то результат каждого достаточно сложного расчета содержит нек-pyю ошибку, обусловленную погрешностями округлением входных данных и промежуточных результатов. Для учета этой ошибки можно каждую величину представить парой чисел, к-рые ограничивают ее снизу и сверх и имеют точное представление в ЦВМ. Таким образом каждая величина заменяется нек-рым, содержащим с интервалом. При выполнении арифметич. действий новый интервал вычисляется с помощью специальных операций.

Пусть G- множество интервалов {[а, b]}. Элементарные арифметич. операции над. интервалами определяются следующим образом:

где Деление возможно лишь в том случае, если интервал, являющийся делителем, не содержит нуля. Множество Gобразует полугруппу по сложению и умножению. Имеют место следующие равенств: I+(J+K)= (I+J)+Кассоциативность сложения IХ(JХK)=(IХJ)ХКассоциативность умножения, I +J = J+I коммутативность сложения, IХJ = JХI коммутативность умножения.

Нулем и единицей служат соответственно интервалы Особенностью этой алгебраич. структуры является то, что обратные элементы как по сложению, так и по умножению определяются не единственным образом, т. е. уравнения (относительно X) I+ Х=J, IХ X = J имеют, вообще говоря, не единственное решение. Кроме того, не выполняется закон дистрибутивности, напр.

тогда как

Имеет место лишь субдистрибутивность:

Операции над интервалами монотонны по включению. Если IМ K, J М L, то

В множестве Gвводится топология с помощью метрики р(I, J)=max(|c-a|, |d-b|), I=[a, b], J=[c, d], и частичная упорядоченность I<J, если и I=J, если а=с, b=d.

Однозначное отображение Gв Gназ. интервальной функцией. Обычным образом вводится понятие непрерывности функции. Определяется производная интервальной функции, определенный и неопределенный интегралы.

И. а. успешно применяется при решении нек-рых задач. Однако применение этого метода значительно увеличивает объем работы (более чем вдвое), требует вдвое больше памяти и времени счета. Кроме того, в достаточно больших задачах интервал, содержащий окончательный ответ часто бывает настолько большим, что практически не дает решения задачи. Для преодоления последней трудности развивают И. а. со структурами теории вероятностей (см. [3]).

Лит.:[1] Moore R. E., Interval Analysis, 1966; [2] Хемминг Р. В., Численные методы, пер. с англ., М., 1968; [31 Interval Mathematics, N.Y., 1975 (Lect. Notes Computer Sience, v. 29).

В. В. Поспелов.