|
"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕЗначение ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ в математической энциклопедии: - уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И.-д. у. включают и интегральные и дифференциальные уравнения. Линейные И.-д. у. Пусть f(x) - заданная функция,
- дифференциальные выражения с достаточно гладкими коэффициентами pi(x)и qi(y)на [ а, b], a K(x, у)- известная функция, достаточно гладкая в квадрате [а, b]
наз. линейным И.-д. у.; здесь X- параметр. Если в И.-д. у. (1) функция
Для И.-д. у. (1) или (2) можно ставить задачу Коши (ищется решение, удовлетворяющее условиям U(i)a=ci, i=0, 1,. . ., l-1, где с i - заданные числа, l- порядок выражения Lx[U], а
К исследованию этого уравнения применимы метод сжатых изображений, принцип Шаудера и другие методы нелинейного анализа. Для И.-д. у. изучаются вопросы устойчивости решений, разложения по собственным функциям, асимптотика по малому параметру и др. В приложениях встречаются также И.-д. у. с частными производными и с кратными интегралами. Таковы, напр., уравнение Больцмана, уравнение Колмогорова - Феллера. Лит.:[1] Volterra V., Leсons sur les equations integrales et les equations integrodifferentielles, P., 1913; [2] его же, Математическая теория борьбы за существование, пер. с франц., М., 1976; [3] Быков Я. В., О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений, Фр., 1957; [4] Вайнберг М. М., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1964, с. 5-37; [5] Филатов А. Н., Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, Таш., 1974. В. А. Треногий. |
|
|
|
[ а, b]. Уравнение вида
при у>х, то уравнение (1) наз. И.-д. у. с переменным пределом интегрирования: его можно записать в форме:
и различные граничные задачи (напр., задачу о периодических решениях). В ряде случаев (см. [3] - [4]) задачи для (1) или (2) можно упростить или даже свести соответственно к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода или уравнениям Вольтерра. Вместе с тем для И.-д. ,у. возможен ряд специфич. явлений, не характерных ни для дифференциальных, ни для интегральных уравнений. Простейшее нелинейное И.-д. у. имеет вид: