ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИИ МЕТОД

Значение ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИИ МЕТОД в математической энциклопедии:

, метод полос,- метод решения систем дифференциальных уравнений с частными производными, основанный на прнближеннрм сведении уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Применим к уравнениям различных типов. Предложен А. А. Дороднициным [1] как развитие метода прямых, обобщенная форма И. с. м. с введением сглаживающих функций дана в [2], разработка и развитие метода - в [3].

Пусть имеется система дифференциальных уравнений с частными производными в дивергентном виде

где P_i, Q_i, F_i- заданные функции от независимых х, у и искомых u₁, u₂,. . ., u_k переменных. Пусть решение системы (1) ищется в криволинейном прямоугольнике с границами х=а, х=b, у=0, у=D(х), на к-рых ставится 2к условий, из них кусловий на границах x= а и х=b. Если заранее функция D (х)неизвестна, то требуется одно дополнительное условие. При наличии на границе особых точек вместо соответствующих граничных условий используются условия регулярности. В N-м приближении область интегрирования разбивается на Nнепересекающихся полос системой линий y=y_n(x)=nD(x)/N, n=1,..., N. Для каждого Nвыбирается замкнутая система из Nлинейно независимых функций f_n(y). При умножении каждого исходного уравнения (1) на функции f_n(y)и интегрировании по упоперек всех полос получают kN интегральных соотношений вида

Подынтегральные функции Р, Q, F аппроксимируются при помощи интерполяционных формул через их значения Р _п, Q_n, F_n на границах полос; интегралы, входящие в интегральные соотношения, имеют вид

где С _п- численные коэффициенты, зависящие от выбора интерполяционных формул и вида функций f_n(y). В результате получается аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений по хотносительно K(N+1 )значений искомых функций и _п на всех границах полос. Эта система замыкается кграничными условиями при у = 0 и у=А (х).

Функции f_n(y)выбираются достаточно произвольно. Применение в качестве f_n(y)5-функции f_n(y) = b(y-у _n), n=1, 2,. . ., N, приводит к методу прямых, в к-ром производные по узаменяются разностными выражениями, отвечающими выбранным интерполяционным формулам. При использовании ступенчатых функций

говорят о простом И. с. м., где исходные уравнения интегрируются поперек каждой полосы. При этом выраженные исходной системой (1) законы сохранения запишутся для полос в виде следующих интегральных соотношений

Сходимость и погрешность И. с. м. исследовались для систем квазилинейных уравнений гиперболич. типа [4]. Здесь были установлены результаты, показывающие преимущество И. с. м. над методом прямых. В более поздних работах проводилось аналогичное исследование для уравнений эллиптич. типа.

К достоинствам И. с. м. относятся: возможность выбора интерполяционных формул и функций f(y)с учетом поведения решения, точное интегрирование по одной из переменных (вследствие дивергентной формы записи исходных уравнений), простота вычислительного алгоритма, небольшой объем машинной памяти при расчетах на ЭВМ. В И. с. м. аппроксимируется интеграл: это повышает точность аппроксимации за счет уменьшения коэффициента остаточного члена; интеграл представляет собой более гладкую функцию, чем подинтегральная функция, что позволяет уменьшить число узлов интерполяции. В случае разрыва первого рода подинтегральной функции интеграл непрерывен. И. с. м. наиболее эффективен, когда решение с хорошей точностью получается при малом числе полос.

Проведением аппроксимаций по двум переменным И. с. м. обобщается на случай уравнений с тремя независимыми переменными. Аппроксимации по двум переменным можно проводить и в двумерном случае (при этом область интегрирования разбивается не на полосы, а на подобласти), тогда аппроксимирующая система будет системой нелинейных алгебраич. или трансцендентных уравнений. Элементы И. с. м. применяются в др. численных методах, напр, в крупных частиц методе.

И. с. м. наиболее приложим в газовой динамике, где с его помощью был решен цикл практически важных задач. При этом выделяют три схемы И. с. м.: 1) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между поверхностью тела и ударной волной (рис. а);

2) область интегрирования разбивается линиями, проходящими между осью симметрии и граничной характеристикой (рис. б);3) производится разбиение на подобласти двумя семействами пересекающихся линий (рис. в).

И. с. м. для расчета сверхзвукового обтекания носовой части затупленного тела с отошедшей ударной волной был разработан в [5], где впервые получено численное решение этой задачи в прямой постановке. Проведено решение этой задачи для самых общих случаев (тела разнообразной формы, пространственное обтекание, течения реального газа при наличии равновесных и неравновесных физико-химич. превращений и излучения, нестационарное движение, течение вязкого газа [6]). И. с. м. применялся для численного исследования потенциальных течений газа [7], для решения нек-рых смешанных задач: течение в дозвуковой и трансзвуковой части сопла [8]. Рассматривалось закритическое обтекание профиля под углом атаки с местной сверхзвуковой зоной [9]. И. с. м. рассчитывались сверхзвуковые конич. течения газа.

Широкое применение И. с. м. нашел при расчетах движения вязкого газа в рамках теории пограничного слоя. Для ламинарного несжимаемого случая было получено решение вплоть до точки отрыва [2]. Далее рассчитывался ламинарный пограничный слой в газе с учетом вдува или отсоса, излучения, теплопроводности. И. с. м. получено решение нестационарной задачи о точечном одномерном взрыве в газе с учетом противодавления [10], а также в газе с бесконечной проводимостью в присутствии магнитного поля и в горючем газе.

Лит.:[1] Дородницын А. А., в кн.: Тр. 3 Всесоюзного математического съезда. 1956, т. 3, М., 1958, с. 447-53; [2] его же, "Ж. прикл. механ. и техн. физ.", 1960, № 3, с. 111-18; [3] Белоцерковский О. М., Чушкин П. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 5, с. 731-59; [4] Бобков В. В., Крылов В. И., "Дифференциальные уравнения", 1965, т. 1, № 2, с. 230-43; [5] Белоцерковский О. М., "Докл. АН СССР", 1957, т. 113, в. 3, с. 509-12; [6] Белоцерковский О. <М. и др., Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретические и экспериментальные исследования, 2 изд., М., 1967; [7] Чушкин П. И., "Вычисл. математика", 1957, К"2, с. 20- 44; [8] Алихашкин Я. И., Фаворский А. П., Чушки н П. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1963, т. 3, №6, с. 1130 - 34 [9]Tai Т. С, "J. AIAA", 1974, V. 12, р. 798 - 804; [10] Коробейников В. П., Чушкин П. И., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1966, т. 87, с. 4-34.

Ю. М. Давыдов.