ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Значение ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в математической энциклопедии:

- функциональное преобразование вида

где С- конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К( х, t)- ядро И. п. Наиболее часто рассматриваются И. п., для которых K(x,t)=K(xt )и С- действительная ось или ее часть ( а, b). Если то И. п. наз. конечным

И. п. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t)по известной F(x), наз. формулами обращения И. п.

Примеры И. п. Преобразование Бохнера:

где J_v (х)- функция Бесселя 1-го рода порядка v, р - расстояние в Rⁿ. Формула обращения: f= T²f. Равенство Парсеваля:

Преобразование Вебера:

где Y_v(x).- функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения:

При а->0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля:

При v==±¹/₂ это преобразование сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье. Формула обращения: если f(t)имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀>0 и то

Равенство Парсеваля: если F(x)п G(x)- преобразования Ганкеля функций f(t)и g{t), причем f, то

Другие формы преобразования Ганнеля:

Преобразование Вейерштрасса:

является частным случаем свертки преобразования. Цепные преобразования. Пусть

причем f_n+₁(x)=f₁(x). Такая последовательность И. п. наз. цепочкой И. п. При n=2 цепные И. п. часто наз. преобразованиями Фурье.

Кратные (многомерные) И. п.- преобразования вида (1), где t, С- некоторая область n-мерного комплексного евклидова пространства.

И. п. обобщенных функций могут быть построены следующими основными способами:

1) Строится пространство основных функций U, содержащее ядро К( х, t )рассматриваемого И. п. Т. Преобразование Tf для любой обобщенной функции определяется как значение функционала f на основной функции К( х, t). формулой

2) Строится пространство основных функций U, на к-ром определено классическое И. п. Т, отображающее Uна нек-рое пространство основных функций V. И. п. T'f обобщенной функции вводится равенством

3) Рассматриваемое И. п. выражается через другое И. п., к-рое определено для обобщенных функций.

См. также ст. Ватсона преобразование, Гаусса преобразование, Гегенбауэра преобразование, Конторовича- Лебедева преобразование, Мейера преобразование, Мелера- Фока преобразование, Меллина преобразование. Свертки преобразование, Стилтьеса преобразование, Уиттекера преобразование, Фурье преобразование, Харди преобразование, Эйлера преобразование, Эрмита преобразование, Якоби преобразование.

Лит.:[1] Диткин В. А., Прудников А. П., в сб.: "Итоги науки. Математический анализ. 1966", М., 1967, с. 7-82; [2] Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977; [3] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.