ИНВАРИАНТОВ ТЕОРИЯ

Значение ИНВАРИАНТОВ ТЕОРИЯ в математической энциклопедии:

в классическом определении - алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных заменах переменных. При этом, вообще говоря, рассматривается не полная линейная группа (т. е. не все множество невырожденных линейных замен переменных), а нек-рая ее подгруппа (напр., ортогональная, симплектическая и др.). И. т. возникла под влиянием ряда задач теории чисел, алгебры и геометрии. Еще К. Гаусс (С. Gauss), занимаясь теорией бинарных квадратичных форм, поставил задачу изучения многочленов от коэффициентов формы ах ²+2bху+су ², не меняющихся при преобразовании этих коэффициентов, определяемом подстановкой вида

где ad-bg=1 и a, b, g,d - целые. С другой стороны, в проективной геометрии при внутренней характеризации конфигураций и связей появляются алгебраич. выражения от проективных координат, не меняющиеся при проективной коллинеации. Предшествующей ступенью И. т. являлось также учение о детерминантах. Арифметич. к алгебраич. вопросами, так или иначе связанными с И. т., занимались К. Якоби (К. Jacobi), Ф. Эйзенштейн (F. Eisenstein), III. Эрмит (Ch. Hermite). Собственно И. т..как математич. дисциплина сложилась к сер. 19 в. Этот период характеризуется интересом к формально-алгебраич. проблемам и их приложениям к геометрии. Понятия группы, инварианта и основные задачи теории формулируются к этому времени точным образом, и постепенно становится ясно, что факты классич. и проективной геометрии есть просто выражение тождеств (сизигий) между инвариантами или ковариантами соответствующей группы преобразований. Первой работой по И. т. следует, видимо, считать "Мемуар о гипердетерминантах" А. Кэли (A. Cayley, 1846). Все обычные термины И. т.- инвариант, ковариант, комитант, дискриминант и т. д.- были введены Дж. Сильвестром (J. Sylvester).

Одним из первых объектов изучения И. т. были так наз. инварианты форм. Рассматривается форма степени rот nпеременных с неопределенными коэффициентами:

после линейной замены переменных

где a_ij- действительные или комплексные числа, она преобразуется в форму

так что указанное линейное преобразование переменных определяет нек-рое преобразование коэффициентов формы:

Многочлен ф(. . ., а _i1, . . ., i_n, . . .) от коэффициентов формы f(x₁,. . ., х _п )наз. (относительным) инвариантом формы, если при всех невырожденных линейных заменах переменных выполнено соотношение

где |a_ij| - определитель линейного преобразования, а g- константа (вес). Если g=0, инвариант наз. абсолютным. Так, простейшим примером инварианта является дискриминант D=b²- ас бинарной квадратичной (n=r=2) формы f( х,y)=ax²+2bxy+cy², или дискриминант D=3b² с ²+6abcd-4b³d-Aac³-a²d² тернарной ( п = 2, r=3) формы f(x, y) = ax³+3bx²y+3cxy²+dy³. Если задана не одна, а несколько форм от одних и тех же переменных, то можно рассматривать многочлены Ф от коэффициентов всех этих форм, преобразующиеся указанным выше способом при линейной замене переменных,- так получается понятие совместного инварианта системы форм. Напр., определитель |a_ij| есть совместный инвариант системы плинейных форм

Аналогичным образом может быть определен ковариант и, более общим образом,- комитант.

Классич. постановка основной задачи И. т.- фактически вычислить инварианты, а также дать полное их описание (то же для ковариантов). С этой целью были разработаны всевозможные формальные процессы, позволяющие строить инварианты (поляризация, реституция, тождество Капелли, W-процесс Кэли и т. п.). Кульминацией этой деятельности является создание так наз. символич. метода в И. т.- некоторого формального способа вычислять все инварианты степени не выше заданной (см. [3], [6], [11]).

Развившаяся к 30-м гг. 20 в. глобальная теория полупростых групп и их, представлений позволила дать следующую наиболее общую постановку основной задачи классич. И. т. [6]. Задана произвольная группа Gи ее конечномерное линейное представление р в линейном пространстве Vнад полем к. Если х ₁, . . .,х _п- координаты в V(в каком-либо базисе), то каждый элемент определяет линейную замену переменных х ₁, . . ., х _п;производя эту замену переменных в произвольном многочлене j( х ₁, . .., х _п), получают новый многочлен, так что gиндуцирует нек-рое преобразование (автоморфизм) кольца всех многочленов k[ х ₁, . . ., х _п]от переменных х ₁, .. ., х _п над полем k. Многочлен j( х ₁, . .., х _п), не меняющийся при всех таких преобразованиях (т. <е. когда gпробегает всю G), называется инвариантом представления р группы G. Все инварианты образуют k-алгебру, и цель И. т.- описание этой алгебры. Так, инварианты форм - это инварианты полной линейной группы относительно ее представления в пространстве симметрич. тензоров фиксированного ранга основного (или сопряженного) пространства (коэффициенты исходной формы f и есть компоненты этого тензора), рассмотрение ковариантов сводится к изучению алгебры инвариантов для представления в пространстве тензоров смешанной валентности.

В такой постановке задача описания инвариантов есть частный случай следующей общей задачи теории линейных представлений: разложить пространство тензоров заданной валентности на неприводимые инвариантные подпространства относительно заданной группы линейных преобразований основного линейного пространства (отыскание инвариантов может быть сведено к выделению одномерных инвариантных подпространств).

Уже на первых этапах развития И. т. было обнаружено следующее обстоятельство, позволившее обозреть всю систему инвариантов в целом: во всех разобранных случаях удавалось выделить конечное число базисных инвариантов j₁ . . ., j_m, т. е. таких инвариантов, что всякий другой инвариант j заданного представления может быть выражен в виде многочлена от них: j=F(j₁, ..., j_m). Иначе говоря, алгебра инвариантов оказывалась конечно порожденной. Выяснилось также, что эти базисные инварианты, вообще говоря, не являются независимыми (т. е. алгебра инвариантов не является свободной алгеброй):могут существовать нетривиальные многочлены Р(t₁, ..., t_m), называемые соотношениями, или сизигиями, к-рые после подстановки t_i=j_i, тождественно обращаются в нуль. В самом множестве соотношений можно снова указать конечное число базисных соотношений, алгебраич. следствиями к-рых являются все остальные (соотношения образуют идеал в кольце многочленов от переменных t₁, . . ., t_m и базисные соотношения - его образующие). В свою очередь, базисные соотношения сами, вообще говоря, не независимы - так могут быть определены вторые сизигии и т. д. Построенная цепь сизигий всегда оказывалась конечной. Напр., если G- симметрическая группа всех перестановок координат х ₁, . . ., х _п, то алгебра инвариантов есть алгебра всех симметрических многочленов от х ₁,..., х _п;элементарные симметрич. многочлены являются базисными инвариантами, к-рые алгебраически независимы (в этом случае сизигий нет).

Эти факты привели к формулировке двух основных проблем в классич. И. т.:

1. Доказать конечную порожденность алгебры инвариантов заданного представления заданной группы (первая основная теорема И. т.) и определить систему базисных инвариантов.

2. Доказать существование конечного базиса сизигий (вторая основная теорема И. т.) и найти его.

Первая основная теорема И. т. для инвариантов формы произвольной степени от произвольного конечного числа неизвестных была доказана Д. Гильбертом (D. Hilbert) [1] (см. также Гильберта теорема об инвариантах). Им же доказано, что вторая основная теорема И. т. справедлива во всех случаях, когда справедлива первая основная теорема И. т., а также, что в этом случае цепь сигизий всегда конечна. Д. Гильберт получил доказательства основных теорем классич. И. т. на базе доказанных им (специально с этой целью) общих абстрактных алгебраич. утверждений, составивших позднее фундамент современной коммутативной алгебры ( Гильберта теорема о базисе, Гильберта теорема о сизигиях, Гильберта теорема о корнях). Первоначальное доказательство первой основной теоремы И. т. было неконструктивным и не давало оценки сверху на степени базисных инвариантов, однако позднее такие оценки были получены [2] (см. также [11]). Указанные выше формальные вычислительные методы И. т. позволяют, по крайней мере, в принципе, найти с использованием этих оценок все базисные инварианты. В 30-х гг. 20 в. Г. Вейль (Н. Weyl), развивая идею Д. Гильберта и А. Гурвица (A. Hurvitz, см. [14]), доказал первую основную теорему И. т. для конечномерных представлений любых компактных групп Ли и для конечномерных представлений любых комплексных полупростых групп Ли [6]. Книга [6], подводящая итог развития классич. И. т., содержит описание базисных инвариантов и сизигий для представлений классических групп, а также нек-рых других групп. Одним из важных приложений методов И. т. явилось описание чисел Бетти классических компактных групп Ли.

Доказательство второй основной теоремы И. т. вскрыло общую алгебраич. природу этой теоремы (она является следствием теоремы Гильберта о базисе). Пытаясь выяснить, справедливо ли это же в отношении первой основной теоремы И. т., Д. Гильберт сформулировал следующую проблему (14-я проблема Гильберта): пусть k- поле, А = k[ х ₁, . . ., х _п]- алгебра многочленов над кот переменных х ₁, . . ., х _п и L- произвольное подполе поля частных алгебры А, содержащее k;будет ли алгебра конечно порождена над k? Из положительного ответа на этот вопрос вытекала бы справедливость первой основной теоремы И. т. для любых групп. Отрицательное решение 14-й проблемы Гильберта было получено в [9], где приведен пример представления коммутативной унипотентной группы, для к-рого алгебра инвариантов не имеет конечного числа образующих. В 50-х гг. 20 в. получен ряд результатов об инвариантах конечных групп, в особенности групп, порожденных отражениями (см. Отражений группа, Кокстера группа). Было доказано [13], [14], что конечные линейные комплексные группы, пoрожденные унитарными отражениями, могут быть охарактеризованы как конечные линейные группы, алгебра инвариантов к-рых не имеет сизигий.

Новый этап развития И. т. связан с расширением круга задач и геометрич. приложений этой теории. Современная И. т. (или геометрическая И. т.) стала частью общей теории алгебраич. групп преобразований; ее фундаментом является теория алгебраич. групп, построенная в 50-х гг. 20 в., а языком - язык алгебраич. геометрии. В отличие от классич. И. т., основным объектом к-рой являлось кольцо многочленов от ппеременных над полем kвместе с группой автоморфизмов, индуцированных линейными заменами переменных, современная И. т. рассматривает произвольную конечно порожденную k-алгебру Л и алгебраич. группу Gее k-автоморфизмов. Вместо линейного пространства Vи представления р рассматривается произвольное аффинное алгебраич. многообразие Xи алгебраич. группа Gего алгебраич. преобразований (автоморфизмов), так что R- это кольцо регулярных функций на X, а действие Gна Rиндуцировано действием Gна X. Элементы из R, неподвижные относительно G, есть инварианты; все их множество образует k-алгебру R^G.

Обобщаются и другие понятия классич. И. т., напр. комитант - это регулярное отображение одного такого многообразия в другое, коммутирующее с действием группы; если R^G конечно порождена, то говорят, что выполнена первая основная теорема И. т. Устанавливается, что R^G будет конечно порождена, если G- геометрически редуктивная группа (см. Мамфорда гипотеза). Во многих важных случаях, напр, в приложении к проблеме модулей, Gявляется именно такой группой. Если R^G конечно порождена, то существует аффинное алгебраич. многообразие W, для к-рого R^G является алгеброй регулярных функций; включение индуцирует морфизм p :

Если Gгеометрически редуктивна, то многообразие Wклассифицирует замкнутые орбиты Gв W:отображение p сюръективно, н в каждом его слое лежит ровно одна замкнутая орбита. Необходимое условие существования фактормногообразия Xпо G- замкнутость всех орбит - оказывается в этом случае и достаточным, и этим фактормногообразием оказывается W. Отсюда видна роль R^G в решении геометрич. проблем классификации и построении фактормногообразий; вместе с тем изучение R^G (к-рое было конечной целью классич. И. т.) есть лишь начальный этап решения этих геометрич. проблем, ибо значение R^G не дает, вообще говоря, полной информации об орбитах Gв Xи потому должно сочетаться с рассмотрением незамкнутых орбит, их замыканий и стабилизаторов (так наз. орбитальных разложений). Более того, изучение действий алгебраич. групп на аффинных алгебраич. многообразиях есть лишь "локальная часть" общей теории алгебраич. групп преобразований (так же, как теория аффинных многообразий - "локальная часть" общей теории алгебраич. многообразий).

В общем случае рассматривается алгебраическое (регулярное) действие Gна произвольном алгебраич. многообразии X(склеенном из аффинных кусков), так что, напр., решение задачи о построении фактормногообразия X(или подходящего открытого подмножества в X)по действию Gсводится к рассмотрению G-инвариантного аффинного покрытия Xи применению указанной выше конструкции к каждому элементу этого покрытия с последующей "склейкой" полученных аффинных фактормногообразий. Для успешного применения этой процедуры следует, вообще говоря, заменить Xна нек-рое его инвариантное открытое подмножество (само Xможет и не допускать инвариантного аффинного покрытия).

В настоящее время исследования по теории алгебраич. групп преобразований ведутся в различных направлениях, из к-рых можно выделить следующие. Получение информации о свойствах общего положения точек многообразия X, на к-ром регулярно действует алгебраич. группа G. Описание орбитальных разложений различных конкретных действий (в основном, линейных представлений). Теоремы стратификации общих пространств преобразований на более простые, стандартные пространства. Теоремы о фактормногообразиях, пространствах орбит, сечениях, квазисечениях и "слайсах"; многообразия неподвижных точек. Теоремы об эквивариантных вложениях. Критерии аффинности и квазиаффинности орбит (см. Мацусимы критерий). Структура замыканий орбит различных специальных видов, теория квазиоднородных многообразий (т. е. многообразий с плотной орбитой), действия с тривиальной алгеброй инвариантов. Алгебраич. свойства колец инвариантов, алгебро-геометрич. свойства пространств преобразований и фактормногообразий. Связь с теорией особенностей [16]. Проблема рациональности полей инвариантов, связь с теорией алгебраич. торов и алгебраич. теорией чисел [17].

Лит.:[1] Hilbert D., "Math. Ann.", 1890, Bd 36 S. 473 - 534; [2] его же, там же, 1893, Bd 42, S. 313-73; [3] Weitzenbock R., Invarianten-Theorie, Groningen 1923; [4] Hurvitz A., "Gott. Nachr.", 1897, S. 71-90; [5] Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937; [6] Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.- Л., 1948; [7] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер о англ., М., 1947; [8] Проблемы Гильберта, М., 1969; [9] Nаgata M., в кн.: Procledings of the International Congress of Mathematics (Edinburgh, 1958), Camb., 1960, p. 459-62; [10] его же, "Amer. J. Math.", 1959, v. 81, p. 766-72; [11] Mumford D., Geometric Invariant Theory, B.-Hdlb.- N. Y., 1965;.[12] Дьедонне Ж., Кeppол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ М., 1974; [13] Fogarty S., Invariant theory, N.Y.-Amst 1969; [14] Chevalley C, "Amer. J. Math.", 1955, v 77 p. 778-82; [15] ChepbardG. C.,Todd J. A., "Canad J. Math.", 1954, v. 6, p. 274-304; [16] "Proc. Symp. Pure Math.", 1975, v. 29, p. 633-42; [17] Воскресенский В. Е., "Успехи матем. наук", 1972, т. 28, в. 4, с. 77-102

В. <Л. <Попов.