ИНВАРИАНТНОЕ МНОЖЕСТВО

Значение ИНВАРИАНТНОЕ МНОЖЕСТВО в математической энциклопедии:

фазового пространства Rдинамической системы f(p,t)- множество М, заполненное целыми траекториями, т. е. множество, удовлетворяющее условию

где f(М, t)- образ множества Мпри преобразовании группы f(p, t), соответствующем данному t.

Как множество метрич. пространства R И. м. Мможет иметь определенную топологич. структуру: быть, напр., топологическим или гладким многообразием, поверхностью, замкнутой, жордановой кривой, отдельной точкой. Об И. м. Мговорят тогда как об инвариантном многообразии, инвариантной поверхности, инвариантной кривой или инвариантной точке. Инвариантную точку наз. обычно точкой покоя динамич. системы, поскольку для этой точки движение сводится к покою: f(p, t) = p для всех значений t. Замкнутая инвариантная кривая, не содержащая, точек покоя динамич. системы, всегда образована траекторией периодич. движения, т. с. движения, удовлетворяющего условию

для всех и нек-рого T>0 и наз. в силу этого периодической траекторией. Примерами инвариантных многообразий могут служить сфера, тор, диск; инвариантных поверхностей - конус, лист Мёбиуса, сфера с ручками; инвариантных множеств - множество всех точек покоя, множества W_p и A_p всех, соответственно, w- и a-пределышх точек движения f(p,t),a также множество всех блуждающих Wили неблуждающих точек.

Инвариантная точка динамич. системы на плоскости

по характеру поведения траекторий в ее окрестности принадлежит к одному из 4 типов: узел, фокус, седло,

центр (см. рис.). Узел и фокус бывают асимптотически устойчивыми или неустойчивыми, седловина - неустойчива, центр - устойчив. Индекс Пуанкаре узла, центра и фокуса равен +1, седла -1. В случае, когда матрица Якоби

правой части системы (1) в точке покоя х=х ₀, у=у ₀ имеет собственные значения l₁,l₂ с ненулевой действительной частью, инвариантная точка является: узлом, если значения l₁, l₂ действительны и одного знака; седлом, если значения l₁ , l₂ действительны и разных знаков; фокусом, если значения l₁,l₂ комплексно сопряженные.

Во всех этих случаях тип особой точки системы (1) такой же, как у линейной системы, получаемой из (1) разложением ее правой части в ряд Тейлора в точке х=х ₀, у = у ₀, т. е. как тип точки х ₁=0, y₁ = 0 системы

матрица к-рой равна J( х ₀, у ₀). Между траекториями системы (1) в окрестности особой точки рассматриваемых типов и траекториями системы (2) существует более глубокая, чем отмечено выше, связь. Именно, всякий раз, когда в окрестности инвариантной точки x=х ₀=0, у=у ₀=0 функции f и gголоморфны и матрица J( х ₀, у ₀). имеет ненулевые действительные части собственных значений, существует непрерывно дифференцируемая в нек-рой окрестности Uточки х=0, у=0 замена переменных

приводящая систему уравнений (1) к системе (2).

Если значения l₁,l₂ мнимые, то инвариантная точка х ₀, у ₀ может быть либо фокусом, либо центром. Вопрос выяснения типа особой точки в этом случае представляет собой отдельную и трудную проблему - проблему центра и фокуса - и требует для отличения центра от фокуса привлечения более тонких критериев (см. [1], [7]). Аналогичные трудности возникают при определении типа особой точки и в случае, когда матрица J(x₀, y₀ )вырождена.

Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [2] Биркгоф Д ж., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [3] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; [4] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, 2 изд., М., 1966; [6] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 1956; [7] Сибирский К. С, Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц, Киш., 1976.

А. М. Самойленко.