ИМПРИМИТИВНАЯ ГРУППА

Значение ИМПРИМИТИВНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

- группа Gвзаимно однозначных отображений на себя ( подстановок )нек-рого множества S, для к-рой существует разбиение множества Sв объединение непересекающихся подмножеств S₁, . . ., S_m,обладающее следующими свойствами: число элементов хотя бы в одном из S_i больше единицы; для любой подстановки и любого номера i,существует такой номер j, что gотображает S_i на S_j.

Набор подмножеств S₁,. . ., S_m наз. системой импримитивности, а сами подмножества S_i- областями импримитивности группы G. Не импримитивная группа подстановок наз. примитивной.

Примером И. г. может служить нетривиальная интранзитивная группа Gподстановок множества S(см. Транзитивная группа):в качестве системы импримитивности можно взять набор всех орбит (областей транзитивности) Gна S. Транзитивная группа подстановок Gмножества Sпримитивна тогда и только тогда, когда для какого-либо (а, значит, и для любого) элемента множество подстановок из G, оставляющих уна мосте, является максимальной подгруппой в G.

Понятие И. г. подстановок имеет аналог для групп линейных "преобразований векторных пространств. Именно, линейное представление р группы Gназ. импримитивным, если существует разложение пространства Vпредставления р в прямую сумму собственных подпространств V₁, . .., V_m, обладающее следующим свойством": для любого элемента и любого номера i, найдется такой номер j,что

Набор подпространств V₁, ..., V_m наз. системой импримитивности представления р. Если Vне обладает разложением указанного типа, то представление р наз. примитивным. Импримитивное представление р наз. транзитивным имиримитивным, если для любой пары подпространств V;и V_j из системы импримитивности существует такой элемент что p(g)(V_i)=V_j. Группа p(G)линейных преобразований пространства Vи G-модуль V, определяемый представлением р, также наз. импримитивными (примитивными), если представление р является импримитивным (примитивным).

Примеры. Представление р симметрич. группы S_n в n-мерном векторном пространстве над полем k, переставляющее элементы базиса е ₁, . .., е _п, является транзитивным импримитивным; одномерные подпространства {ke₁, . . ., kе _п}образуют для р систему импримитивности. Транзитивным импримитивным является также регулярное представление конечной группы Gнад полем k;набор одномерных подпространств kg, где gпробегает всю G, образует систему импримитивности. Более общо, любое мономиальное представление конечной группы является импримитивным. Представление циклич. группы порядка поворотами действительной плоскости на углы, кратные 2p/т, примитивно.

Понятие импримитивного представления тесно связано с понятием индуцированного представления. А именно, пусть р - импримитивное конечномерное представление конечной группы Gс системой импримитивности {V₁, . . ., V_n}. Множество {V₁ , ..., V_n} разбивается в объединение орбит относительно действия группы G, определенного представлением р. Пусть {V_i1,..., V_is }- полный набор представителей различных орбит этого действия,

j_т- представление группы Н _т в V_in, определенное сужением представления р на Н _т, и r_т- представление группы G, индуцированное j_m. Тогда р эквивалентно прямой сумме представлений r₁ , ..., r_s. Обратно, пусть Н ₁, .. ., Н _s- какой-либо набор подгрупп группы G,j_m - представление группы Н _т в конечномерном векторном пространстве W_m,m=l, . . ., s, и r_т - представление группы G, индуцированное j_m. Пусть также - система представителей левых смежных классов группы Gпо Н _т. Тогда прямая сумма пред- , ставлений r₁, . . ., r_s импримитивна, a r(g_m,j).(W_m), j=1, . . ., r_m,m=l, . . ., s, является системой импримитивности (здесь W_m канонически отождествляется с подпространством в V).

Лит.:[1] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [2] Кэртис Ч.,Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969.

Н. Н. Вильяме, В. Л. Попов.