" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ

Значение ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ в математической энциклопедии:

- погружение k-мерного метрич. многообразия М ^к в n-мерное риманово пространство V,в виде k-мерной поверхности

Ф, при к-ром расстояние между любыми двумя точками на М ^k совпадает с расстоянием между их образами, измеренным по поверхности Ф в пространстве Vⁿ. Это определение можно обобщить, если риманово пространство заменить более общим метрич. пространством. Частным случаем И. п. является изометрическое вложение - взаимно однозначное погружение.

Основными вопросами теории И. п. являются; 1) проблема возможности И. п. данного многообразия в данное пространство; 2) в случае существования И. п.- проблема его единственности. Эти проблемы рассматриваются при различных условиях на многообразие и его изометрич. образ - гладкости, регулярности, аналитичности, выпуклости и т. д. При каждом из перечисленных условий конкретизация основных вопросов теории И. п. производится в следующих аспектах: а) вопрос глобального И. п. М ^k в Vⁿ;б) вопрос локального И. п. М ^k в Vⁿ (отыскание И. п. в Vдостаточно малой окрестности отмеченной точки ); в) в локальном и глобальном случаях отыскание минимального ртакого, что М ^k погружаемо в евклидово пространство Е ^k+p размерности k+р (число рназ. классом погружения многообразия М ^k);г) вопросы изгибания И. п.

С аналитич. точки зрения задача нахождения И. п. М ^k в Vⁿ равносильна решению системы нелинейных уравнений с частными производными. Для И. п. в Е ^п эта система имеет вид:

где x={x^a(u^s)} - искомое И. п., g_ij -метрический тензор многообразия М ^k в локальных координатах и ¹, . . ., и ^k. При решении этой системы в глобальном случае используются так наз. свободные отображения хв Е ⁿ (см. Нэша теорема о неявной функции). В локальных аналитич. адачах место теоремы о неявной функции занимает Коши - Ковалевской теорема. Роль свободного отображения и теоремы о неявной функции сохраняется и в общем случае для погружений класса С ^r,, r=a, в римановы и псевдоримановы пространства. И. п. класса С ¹ используют иные методы, основанные на деформации погружения, позволяющей менять погружения и следить за изменением метрики. При исследованиях И. п. в Е ^п используется также система уравнений Гаусса - Петерсона - Кодацци.

Глобальные изометрические погружения. Всякое компактное риманово многообразие М ^k класса С( )допускает изометрич. вложение класса С в любой шар пространства Е ^п, где п (3k²+11k)/2; если М ^k некомпактно, то оно допускает вложение класса в любую часть пространства Е ⁿ, где и п (3k²+11k) (k+l)/2 (см. [6]). Размерность пространства Е ^п снижается в случаях r=и r=а:всякое риманово многообразие M^k (компактное или нет, с краем или без края) класса С( С ^а )допускает изометрич. вложение класса в Е ^п, где

Для k-мерного гиперболич. пространства (k>2) получено в явном виде изометрич. вложение класса С в Е ^6k-5, а для k-мерного эллиптич. пространства (k>2) - изометрич. вложение класса Св Е ^п, п=k(k+3)/2.

В перечисленных результатах гладкость поверхности Ф не выше, чем гладкость погружаемой метрики. Этот факт не является случайным: именно, всякая k-мерная () поверхность Ф класса в Е ^п является И. п. класса С- ^а нек-рого риманова многообразия М ^к класса С> ^а (см. [8]).

Нижняя граница для размерности пространства Е ^п, в к-рое можно осуществить И. п. риманова многообразия, дается теоремой: пусть компактное риманово многообразие М ^к класса С ⁴ обладает следующим свойством: в каждой точке М ^к существует q-плоскость такая, что в ней все кривизны по всем двумерным направлениям неположительны; тогда М ^к не допускает И. п. класса С ⁴ в любое Е" с если условие, наложенное на кривизну многообразия М ^к, распространяется на одну точку и д=п, то существует И. п. класса С ⁴ в Е'^2к~². Так, напр., плоский ^-мерный тор не допускает И. п. класса С ⁴ в E^2k-1; если k - степень двойки, то действительное проективное пространство RP^k, снабженное метрикой со всюду положительной скалярной кривизной, в частности k-мерное эллиптич. пространство, не допускает изометрич. вложения класса С ² в Е ^2k.

продолжение Изометрическое погружение...

Результаты, относящиеся к И. п. класса С ¹, резко отличаются от предыдущих. Они формулируются в следующем виде: если компактное риманово многообразие М ^k класса С ⁰ (с границей или без нее) допускает погружение класса С ¹ в Е ^п при то оно также допускает И. п. класса С ¹ в Е ^п;если некомпактное риманово многообразие М ^к класса С ⁰ допускает короткое погружение (т. е. не удлиняющее в каждой точке линейный элемент) класса С ¹ в Е ^п,не пересекающее свое предельное множество, то оно допускает также И. п. класса С ¹ в Е ⁿ (см. [7]) (здесь предельное множество погружения многообразия М ^k в Е ⁿ есть совокупность точек хпространства Е ^п, для каждой из к-рых в М ^k существует расходящаяся последовательность, образ к-рой сходится в Е ^п к х). В частности, любое компактное риманово многообразие М ^k класса С ⁰ (с границей или без нее) допускает И. п. класса С ¹ в Е ^2k;любое некомпактное риманово многообразие класса С ⁰ допускает И. п. класса С ¹ в E^2k+1.

Если И. п. (изометрич. вложения) класса С ¹ риманова многообразия М ^k в Е ^п с n>k можно соединить короткой регулярной гомотопией (короткой диффеотопией), то их можно соединить изгибанием, составленным из И. п. (изометрич. вложений) класса С ¹. В частности, в компактном случае И. п. (изометрич. вложения) класса С ¹ тогда и только тогда можно соединить изгибанием, составленным из И. п. (изометрич. вложений) класса С ¹, когда они регулярно гомотопны (диффеотопны).

Локальные изометрические погружения. В 1873 Л. Шлефли (L. Schlafli) высказал гипотезу, согласно к-рой всякое риманово многообразие размерности кдопускает локальное И. п. в евклидово пространство Е ⁿ, где п=k(k+1)/2. Эта гипотеза доказана лишь для аналитич. многообразий (см. Жане теорема);более того, во всяком римановом многообразии М ^k класса С ^а с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. вложение класса Св Е ^п, п=k(k+1)/2. В римановом пространстве М ^k класса С с отмеченной точкой существует окрестность отмеченной точки, допускающая изометрич. вложение класса С°° в Е ⁿ, где n = k(k+1)/2+k (см. [7]). С другой стороны, у всякого риманова многообразия класса С ⁰ с отмеченной точкой существует окрестность ее, допускающая изометрич. вложение класса С ¹ в E^k+1.

Несколько иное направление составляет отыскание условий, при к-рых данное многообразие Мимеет *И. п. в Е ⁿ, где n<k(k+1)/2. Это связано с тем, что не всякое риманово многообразие М ^k допускает И. п. в Е ⁿ:при множество римановых метрик, локально индуцируемых на гладком многообразии М ^k с. отмеченной точкой локальными вложениями класса С в Е ⁿ, п<k(k+1)/2, нигде не плотно во множестве всех римановых метрик класса С ^l на М ^k, снабженном обычной С ^l -топологией; при r=2 и утверждение остается верным, если n и kсвязаны неравенством

При решении задачи об определении класса (см. выше) И. п. многообразия минимальное р, найденное в локальной постановке, оценивает снизу значение ри для глобального И. п. Однако точное значение наименьшего р, при к-ром любое многообразие М ^k, k>2, класса С ^r,допускает И. п. класса С ^r в Е ^k+ Р, неизвестно. Имеются нек-рые частные приемы вычисления класса И. п. данного риманова многообразия М ^k в пространство Е ^п. Так, р=0 в том и только в том случае, если тензор кривизны многообразия М ^k тождественно равен нулю. Существует алгебраич. критерий, позволяющий установить, будет ли класс И. п. данного многообразия равен 1, и основанный на том факте, что для метрик класса 1 при нек-рых дополнительных условиях уравнения Петерсона - Кодацци являются следствием уравнений Гаусса [И]. В частности, метрики постоянной положительной кривизны имеют класс 1 и реализуются при k>3 в виде гиперсфер евклидова пространства. Но если Риччи кривизна для М ^k равна нулю, то

Почти все изложенные результаты обобщаются на И. п. одного риманова пространства в другое. Так, напр., обстоит дело с погружениями класса С ¹, с локальными И. п., с достаточно гладкими И. п. k-мерных многообразий в Vⁿ большой размерности, со связями между порядками гладкости поверхности и ее метрики и т. д.

Задачи И. п. переносятся на псевдоримановы многообразия. В этом случае кроме размерностей ки пучитываются размерности k₊ и k-=k-k+ положительной и отрицательной части метрич. тензора на погружаемом многообразии М ^k и соответствующие размерности п ₊ и n_ = n-п ₊ объемлющего пространства V". Так, теорема Жане сохраняется в псевдоримановом случае при

Изометрические погружения двумерных многообразий. Многие задачи этого типа получили законченное решение в том смысле, что пространство, в к-ром строится погружение, имеет минимальную размерность. Здесь разработаны специальные методы решения, основанные на о. <бщей теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и топологогеометрич. соображениях.

Вейля проблема, поставленная в 1916, гласит: допускает ли двумерное риманово многообразие М ² И. п. в Е ³, если оно гомеоморфно сфере и имеет положительную гауссову кривизну? Полное решение проблемы Вейля, обобщенной в том смысле, что речь идет об И. п. М ² в трехмерное риманово пространство V³, дано А. В. Погореловым [3]: пусть V³- полное трехмерное риманово пространство, М ²₊- замкнутое гомеоморфное сфере риманово многообразие с гауссовой кривизной, всюду большей нек-рой постоянной k₀ (большей, меньшей или равной нулю); тогда, если кривизна пространства всюду меньше k₀, то M²₊ допускает И. п. в виде регулярной поверхности Ф. Это погружение можно осуществить так, чтобы данный двумерный элемент aмногообразия M^k (точка и пучок направлений в ней) совпал бы с данным изометричным адвумерным элементом а' в пространстве V³, и поверхность располагалась бы по заданную сторону от. <площадки элемента a'. Если метрика пространства V³ и многообразия М ²₊ принадлежат классу С,то поверхность Ф принадлежит по крайней мере классу C^r-1,v, 0<v<l. Поверхность двумерным элементом определяется однозначно. Любые два И. п. класса С,r=а, в V³ можно соединить изгибанием, составленным из И. п. того же класса.

С совершенно иной точки зрения проблема Вейля исследована А. Д. Александровым, к-рый построил теорию (нерегулярных) двумерных многообразий с выпуклой метрикой[4] (такие многообразия можно определить путем предельного перехода от регулярных многообразий с положительной гауссовой кривизной) и наметил следующий план решения проблемы Вейля: 1) обобщить постановку проблемы, беря в качестве М ² многообразие с произвольной, вообще говоря, нерегулярной выпуклой метрикой; 2) затем установить регулярность И. п. в зависимости от регулярности метрики М ². Осуществление (им же) первой части этого плана привело к исчерпывающему результату: всякое гомеоморфное сфере многообразие с выпуклой метрикой допускает И. п. в Е ³ в виде замкнутой выпуклой поверхности. Реализация второй части плана, проведена А. В. Погореловым в [3], где полностью решен вопрос о регулярности выпуклой поверхности с регулярной метрикой: если выпуклая поверхность имеет метрику класса С ^{k, a}, 0<a<1, и положительную гауссову кривизну, то Ф принадлежит классу C^{k, a}. Если метрика поверхности Ф - аналитическая, то и поверхность Ф - аналитическая. Сходные теоремы имеют место для выпуклых поверхностей в пространстве постоянной кривизны. При определенных условиях существуют И. п. двумерных римановых многообразий положительной гауссовой кривизны, гомеоморфных плоскости или кругу. Наряду с этим построены примеры аналитич. метрик положительной кривизны, заданных в круге и не допускающих И. п. класса С ² в Е ³.

Теорема Гильберта о непогружаемости класса С ² в Е ³ плоскости Лобачевского естественно привела к вопросу, погружаются ли в Е ³ какие-либо полные двумерные метрики с кривизной, ограниченной сверху отрицательной константой (так наз. метрики типа L)? Решение этой проблемы дано Н. В. Ефимовым [14]: если Ф - полная поверхность класса С ² в Е ³ с гауссовой кривизной К(х), то так что, в частности, метрики типа А не допускают И. п. в Е ³. В связи с этой теоремой представляет интерес вопрос о том, какие части метрик типа А (т. е. области двумерного многообразия, на к-ром задается двумерная метрика) могут быть погружены в Е ³. Определенный ответ на этот вопрос получен в [15]. Пусть в бесконечной полосе плоскости Е ² с декартовыми координатами х, у задана форма ds²=dx²+B²(x, у) dy², причем функция и обладает следующими свойствами: а) она сама, все ее производные до г-го порядка, а также константы Липшица по удля производных по уот производных (r-1)-го порядка ограничены в П _a; б) inf B>0; в) гауссова кривизна Тогда форма ds² порождает на многообразии с краем П _а риманову структуру класса С ^r,1, и полученное риманово многообразие допускает И. п. класса С ^r,1, в Е ³. В частности, существует И. п. любого геодезич. круга с произвольной (регулярной) метрикой отрицательной кривизны. Имеется ряд теорем об И. п. в Е ³ некомпактных частей метрик отрицательной кривизны [5]. Даны также оценки размеров области, на к-рую однозначно проектируется поверхность отрицательной (и отделенной от нуля) кривизны.

Так как метрики типа А в целом в Е ³ не погружаются, то ставится вопрос об И. п. этих метрик в евклидовы пространства больших размерностей. В этом направлении имеются лишь частные результаты; так, напр., существует изометрич. вложение класса С°° плоскости Лобачевского в E⁶ и И. п. в Е ⁵;дан пример регулярной метрики типа Л, допускающей И. п. в E⁴; неизвестно, однако, допускает ли плоскость Лобачевского И. п. класса С,в Е ⁴.

Вопрос И. п. в Е ³ метрик знакопеременной кривизны остается открытым даже в случае локальной проблемы. Так, напр., построен [16] пример двумерного риманова многообразия класса С ^{2, 1}, не допускающего локального И. п. класса С ^{2, 1} в Е ³. Вместе с тем задача о реализации аналитич. метрик знакопеременной кривизны решается следующей теоремой [17]: пусть в прямоугольнике плоскости Е ² задана метрика ds²=dx²+В ²( х, у)dy² и пусть В( х, у)- аналитич. функция в нек-ром открытом прямоугольнике, содержащем П _{а, b}; тогда аналитическое риманово многообразие с краем, порожденное на П _аb, заданной метрикой, допускает аналитич. И. п. в Е ³. Имеется ряд результатов, касающихся И. п. регулярных метрик знакопеременной кривизны в евклидово пространство более высокой (но близкой к трем) размерности. Так, если М ²- полное риманово многообразие класса С ^3,a, гомеоморфное плоскости, то любая его компактная часть допускает И. п. класса С ^{2, a} в E⁴; гомеоморфное тору риманово многообразие также допускает И. п. в Е ⁴. Всякое компактное двумерное риманово многообразие класса допускает И. п. (и даже вложение) класса С ( С ^a )в Е ¹⁰, а если оно не имеет замкнутых компонент, то - в Е ⁹. Двумерная сфера с произвольной римановой метрикой класса допускает И. п. класса в E⁷. а поверхность Клейна и лист Мёбиуса - И. п. в Е ⁴.

Если отказаться от регулярности погружения, то всякая двумерная риманова метрика класса С ^r, допускает И. п. класса С ¹ в Е ³. Однако при этом будут нарушены обычные связи между внутренней и внешней геометрией поверхности, реализующей метрику. Построено локальное И. п. метрики двумерной сферы в виде локально невыпуклой поверхности в Е ³ класса С ¹-⁰¹ при любом и аналогичное И. п. в целом при С другой стороны, если поверхность Ф принадлежит классу С ^{1, a},то поверхность Ф, имеющая знакопостоянную внутреннюю кривизну, будет иметь ограниченную внешнюю кривизну. В частности, если внутренняя кривизна Ф положительна, то Ф будет локально выпуклой поверхностью, и если сверх того метрика поверхности регулярна, то регулярна и сама поверхность. Таким образом, нижняя грань значений а, при к-рых сохраняются связи между внутренней и внешней геометрией поверхности Ф класса С ^1,a со знакопостоянной внутренней кривизной, принадлежит отрезку Наконец, все ориентируемые многообразия ограниченной внешней кривизны, не имеющие точек с кривизной 2p, допускают изометрич. вложения в Е ³ в виде дифференцируемых поверхностей. При исследовании нерегулярных И. п. изучались также кусочно линейные И. п. кусочно линейных метрик: так, всякая развертка, гомеоморфная замкнутой области на ориентируемой замкнутой поверхности, может быть изометрич. вложена в Е ³ в виде многогранника.

Лит.:[1] Ефимов Н. В., в кн.: Тр. 4 Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 86-99; [2] Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Введение в дифференциальную геометрию "в целом", М., 1973; [3] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [4] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.--Л., 1948: [5] Позняк Э. Г., Шикин Е. В., в сб.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 171-207; [6] Нэш Дж., "Успехи матем. наук", 1971, т. 36, в. 4, с. 173-216; [7] Громов М. Л., Рохлин В. А., там же, 1970, т. 25, в. 5, с. 3-62; [8] Сабитов И. X., Шефель С. 3., "Сиб. матем. ж.", 1976, т. 17, № 4, с. 916-25; [9] Otsuki Т., "J. Math. Soc. Japan", 1954, v. 6, p. 221 - 34; [10] Нэш Дж., "Математика", 1957, т. 1, № 2, с. 3-16; [11] Розенсон Н. А., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1943, т. 7, с. 253-84; [12] Friedman A., "J. Math., Mech.", 1961, v. 10, p. 625-49; [13] Сабитов И. X., "Сиб. матем. ж.", 1976, т. 17,. № 4, с. 907-15; [14] Ефимов Н. В., "Матем. сб.", 1964, т. 64, Xs2, с. 286-320; [15] IIозняк Э. Г., "Укр. геометр. Сб.", 1966, в. 3, с. 78-92; [16] Погорелов А. В., "Докл. АН СССР", 1971, т. 198, №1, с. 42 - 43; [17] Позняк Э. Г., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 4, с. 47-76; [18] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., "Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мехаш и астрон.", 1960, т. 7, №2, с. 66-80.

В. Т. Фоменко.