ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ

Значение ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ в математической энциклопедии:

- антагонистическая игра, в к-рой множеством чистых стратегий игроков I и II является сегмент [0,1]. При надлежащей нормировке к И. на е. к. может быть сведена любая антагонистич. игра с континуальными множествами стратегий у обоих игроков. И. на е. к. задаются функцией выигрыша К( х, у), определенной на единичном квадрате. Смешанными стратегиями игроков являются функции распределения на единичном интервале.

Если функция выигрыша ограничена и измерима по обеим переменным, то выигрыш игрока I, в условиях применения игроками I и II смешанных стратегий Fи Gсоответственно, равен, по определению,

Если функция К( х, у )непрерывна по обеим переменным, то

т. е. для такой игры реализуем минимакса принцип и существуют обозначенное через v значение игры и оптимальные стратегии у обоих игроков. В дальнейшем теоремы о существовании значения игры (теоремы о минимаксах) были доказаны при более слабых предположениях относительно функции выигрыша. Из общих теорем о минимаксах следует, напр., существование игры для И. на е. к. с ограниченной функцией выигрыша, полунепрерывной сверху по хили снизу по у. Доказаны теоремы существования значения игры для нек-рых специальных классов разрывных функций выигрыша (напр., для игр с выбором момента времени). Однако не все И. на е. к. обладают значением игры. Так, для функции К( х, у), равной

имеют место равенства

Для И. на е. к. с непрерывной функцией выигрыша выяснена структура множества игр с единственным решением. Имейно, множество непрерывных функций от двух переменных, для к-рых соответствующая И. на е. к. имеет единственное решение, оптимальные стратегии обоих игроков непрерывны и их носителями (см. Носитель меры )являются нигде не плотные совершенные замкнутые множества лебеговой меры нуль, содержит всюду плотное подмножество типа G_d.

Общих методов решения И. на е. к. не существует. Тем не менее для нек-рых классов И. на е. к. можно либо найти решение аналитически (таковы, напр., игры с выбором момента времени, игры с функцией выигрыша, зависящей только от разности стратегий игроков и обладающие оптимальными выравнивающими стратегиями), либо доказать для таких игр существование оптимальных стратегий с конечным носителем (таковы, напр., выпуклые игры, вырожденные игры, колоколообразные игры )и тем самым получить возможность свести задачу нахождения решения И. на е. к. к решению нек-рой матричной игры. Для решения игр с непрерывной функцией выигрыша можно применять приближенные методы.

Лит.:[1] Карлин С, Математические методы в теории игр, программировании, экономике, пер. с англ., М., 1964.

Е. <Б. Яновская.