ЗИГЕЛЯ ТЕОРЕМА

Значение ЗИГЕЛЯ ТЕОРЕМА в математической энциклопедии:

- 1) З. т. о L-функциях Дирихле: для любого e>0 существует с=с(e)>0 такое, что для всякого неглавного действительного Дирихле характераc модуля kвыполняется

Установлена К. Зигелем [1]. Эквивалентное утверждение относится к действительным нулям L-функций; для любого е>0 существует с ₁=с ₁(e) такое, что L(z,c)0при z>l-c₁/k^e для всякого неглавного действительного характера Дирихле c. Константы с(e) и с ₁(e)не эффективны в том смысле, что ни при одном e<¹/₂ нет способа оценивать их снизу. В силу этого применения 3. т. носят неконструктивный характер. Напр., если h(-D)есть число классов дивизоров квадратичного поля дискриминанта -D, то из 3. т. следует, что

с неэффективной константой с ₂(e)при e<1/2- Аналогично, оценка, равномерная при (k, l)=1,

где ( х, к, l)- число простых чисел вида kп+l, меньших х, содержит неэффективную константу с ₃.

Лит.:[1] Siegе 1 С. L., "Acta arithmetica", 1935, v. 1, p. 83-86; [2] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. <с англ., М., 1971; [3] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975, гл. IX.

С. М. Воронин.

2) 3. т. о целых точках - теорема о конечности числа решений в целых числах одного класса диофантовых уравнений. В своей простейшей форме эта теорема утверждает, что если F(x, у)- многочлен с целыми коэффициентами, определяющий неприводимую кривую F=0 рода g>0, то уравнение F(x, y) = 0 имеет конечное число решений в целых числах. Этот результат (в более общем виде для целых алгебраич. чисел) был получен в 1929 К. Зигелем [1] с помощью теории диофантовых приближений и теории абелевых многообразий. Он явился завершением начатого в 1908 А. Туэ (A. Thue, см. [2], [3]) направления в теории диофантовых уравнений. В дальнейшем эта теорема была обобщена на случай произвольных аффинных кривых рода g>0, определенных над подкольцами конечного типа глобальных полей (см. [5]). В частности, приведенное выше уравнение F(x, y)=0 имеет конечное число решений в числах вида

где т, т ₁,. . ., m_sZ, а p₁, ..., p_s- фиксированные простые числа. До недавнего времени доказательства этих теорем имели существенный недостаток - утверждая лишь конечность числа решений, они не давали никакой границы для их величины (см. Высота в диофантовой геометрии), так чтo не имелось никакого алгоритма для построения решений в явном виде. Первый результат в этом направлении был получен А. Бейкером (A. Baker, 1967). Эффективные доказательства 3. т. получены для различных классов диофантовых уравнений, однако в общем случае вопрос остается (1978) открытым (см. [4]). Другой важной задачей является обобщение 3. т. на многообразия размерности больше 1.

Лит.:[1] Siegеl С. L., "Abhandl. Dtsch. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.", 1929, N°1, S. 41-69; [2] Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; [3] Дэвенпорт Г., Высшая арифметика, пер. с англ., М., 1965; [4] Проблемы теории диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1974; [5] Lang S., Diophantlne Geometry, N. Y.-L., 1962.

A. H. Паршин.