ЗЕЙФЕРТА РАССЛОЕНИЕ

Значение ЗЕЙФЕРТА РАССЛОЕНИЕ в математической энциклопедии:

- класс расслоений трехмерных многообразий на окружности; определен X. Зейфертом [1]. Каждый слой 3. р. имеет в многообразии М ³ окрестность со стандартным расслоением на окружности, к-рое возникает из произведения D²[0, 1] диска на отрезок при склейке каждой точки ( х,0) с точкой (g(x),1), где g- поворот D² на угол 2pv/m (m и v - взаимно простые целые числа, ).

Образы отрезков х [0, 1] в полученном полнотории Рсоставляют слои: каждый слой, кроме централыгого, состоит из m отрезков; центральный слой наз. особым, если v>0. Инварианты (m, v) обычно заменяются инвариантами Зейферта (а, Р), где a=m, a b определяется из условий

Геометрич. смысл a и b состоит в следующем: если в расслоении, индуцированном на крае Р, взять меридиан т. (кривая, стягиваемая в Р)и параллель I(пересекающую ттрансверсально один раз), а также любой слой f и секущую g(все четыре кривые простые и замкнутые), то при надлежащей ориентации

причем

Первая задача относительно 3. р. состоит в их классификации с точностью до послойного гомеоморфизма. Оказывается [1], что если М ³ имеет 3. р., то существует отображение я: где В ² - двумерное многообразие, и слоями служат p^-1 (х), Имеется шесть типов 3. р.: типы О ₁ и О ₂, в к-рых В ² ориентируемо и М ³ ориентируемо в случае O₁ и неориентируемо в случае О ₂, причем род В ² в этом случае не меньше единицы, и типы n_i, i=i,2, 3, 4, для к-рых В ² неориентируемо. В случае n₁ обнос слоя вдоль пути в В ² не меняет ориентацию слоя, в случае п ₂ имеется система образующих, обнос вдоль к-рых меняет ориентацию, в случае п ₃ не меняет ориентацию только одна из образующих, а в случае n₄ - только две из образующих, причем род В ² не меньше двух для п ₃ и не меньше трех для n₄. Многообразие М ³ ориентируемо только для типа n₂. Каждому 3. р. относится система инвариантов

так что с точностью до послойного гомеоморфизма имеется одно и только одно 3. р. с таким набором. Здесь e= О _i или n_i, р- род В ²,(a_i, b_i) - инварианты Зейферта для особых слоев расслоения, число к-рых равно r, причем в случаях e=О₂, п₁,n₃, n₄, и, наконец, b- целое число, если e=O₁ или п _г и вычет mod2 в остальных случаях, при этом b=0, если a_i= 2 хотя бы для одного слоя. Геометрич. смысл b:на крае окрестности каждого особого слоя выбирается сечение, и вся их совокупность продолжается до сечения во всем дополнении к особым слоям. Это возможно сделать вплоть до одного неособого слоя, к к-рому край продолжаемого сечения подойдет, накручиваясь на него со степенью b. При изменении ориентации М ³ в случаях О ₁ и n₂ число b меняется на -b-r, а b_i - на a_i-b_i.

Вторая задача относительно 3. р. заключается в установлении того, что на замкнутом многообразии М ³ может существовать не более одного такого расслоения с точностью до послойных гомеоморфизмов. Это доказано для так наз. больших 3. р., к-рые являются пространствами типа K(p, 1), т. е. гомотопич. тип к-рых определен фундаментальной группой. Фундаментальную группу p₁( М ³ )многообразия, снабженного З. р., удобно описывать с помощью специальной системы образующих: сечений g_j на краях окрестностей особых слоев, элементов а _i, b_i;(или v_i;, если В ² неориентируемо), образы к-рых в p₁(B²) являются канонич. образующими, h- неособый слой. При этом определяющие соотношения в случаях О ₁ и О ₂ следующие:

а в случаях n_i:

где e_i=l в зависимости от того, обращается ли ориентация слоя при обносе вдоль соответствующей образующей p₁( В ²). К многообразиям смалыми 3. р. относятся: для типа О ₁ все расслоения с

для типа О ₂ только расслоения с р=1, r=0; для типов n₁ и n₂ расслоения с р=1, р=2, r=0; для типа

п ₃ расслоения с р = 2, r=0. Все 3. р. типа n₄ большие. Малые 3. р. все перечислены, их имеется 10 типов (см. [3]).

Свободные действия конечных групп на трехмерной сфере коммутируют с естественным действием на ней группы SO(2), и поэтому пространства орбит этих действий оказываются 3. р. с конечными фундаментальными группами. Это - единственные известные (1977) примеры М ³ с конечной p₁( М ³). Heк-рые из 3. р. встречаются как границы сферич. окрестностей изолированных особых точек алгебраич. поверхностей, инвариантных относительно действия мультипликативной группы комплексных чисел. Именно, это 3. р. типа: {b; ( О ₁, р); (a₁, b₁), ..., (a_r, b_r)} при b+r>0. Идентификация этих многообразий, позволяет построить явное разрешение особенностей с учетом действия С* (а также дать полное описание изолированных особенностей поверхностей в С ³, допускающих действие С*). 3. р. имеются также на локально плоских римановых многообразиях, полученных при факторизации евклидова пространства по свободному действию дискретной группы движений (имеется 6 ориентированных и 4 неориентируемых многообразия, все из к-рых, кроме одного, являются различными расслоениями над окружностью со слоем тор или поверхность Клейна).

В топологии трехмерных многообразий 3. р. важны, напр., для идентификации многообразий, фундаментальные группы к-рых имеют центр [4]. Имеются также обобщения 3. р. на другие классы расслоений с особыми слоями.

Лит.:[l]Seifert H., "Acta Math.", 1933, Bd 60, S. 147- 238; [2] Holmann H., "Math. Ann.", 1964, Bd 157, S. 138-66; [3] Orlik P., Seifert manifolds, В.- Hdlh.-N. Y., 1972; [4] Hempel J., 3-manifolds, N.Y., 1976.

А. В. Чернавский.