ДЛИНА

Значение ДЛИНА в математической энциклопедии:

- числовая характеристика протяженности линий в метрич. пространстве. Д. отрезка прямой - расстояние между его концами, измеренное каким-либо отрезком, принятым за единицу Д. Длина ломаной - сумма Д. ее звеньев. Д. простой дуги - точная верхняя грань длин ломаных, вписанных в эту дугу. Всякая непрерывная кривая имеет Д.- конечную или бесконечную. Если ее Д. конечна, то кривая наз. спрямляемой. Д. плоской кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением y=f(x), а<x<b (f(x)имеет непрерывную производную f'(x)), выражается интегралом

Если кривая задана в параметрич. форме

то Д. кривой равна

Д. спрямляемой кривой не зависит от параметризации. Д. пространственной кривой, заданной в параметрич. форме x=x(t), y=y(t), z=z(t), выражается формулой

в случае re-мерного пространства

Пусть у- непрерывно дифференцируемая кривая, заданная функциями u=u(t), v=v(t), на непрерывно дифференцируемой поверхности r= r( и, v). Тогда длина дуги кривой от точки, соответствующей значению параметра t= t₀, равна

где I - первая квадратичная форма поверхности. Д. непрерывно дифференцируемой кривой, заданной функциями х ⁱ=х ⁱ( t),в римановом пространстве с метрич. тензором g_ik, равна

А. В. Иванов.