ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО

Значение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО в математической энциклопедии:

- неравенство, связывающее аргумент, неизвестную функцию и ее производные, напр.,

где у(х)- неизвестная функция аргумента х. Основная проблема теории Д. н.- по заданному Д. н. и дополнительным (начальным или граничным) условиям описать совокупность всех его решений.

Большую группу составляют Д. н., получающиеся из дифференциальных уравнений хорошо изученных классов заменой знака равенства на знак неравенства, что равносильно добавлению к одной из частей уравнения заранее не уточняемой функции определенного знака. Представляет интерес сравнение решений таких Д. н. с решениями соответствующих дифференциальных уравнений. Так, для любого решения Д. н. (1) справедливы оценки [1]:

где

на любом интервале [ х ₁, х ₂] существования обоих решений. Это простое утверждение широко применяется для оценок решений дифференциальных уравнений (путем перехода к соответствующему Д. н. с легко указываемым частным решением), области продолжимости решений, разности между двумя решениями, для вывода условий единственности решения и т. д. Справедливо аналогичное утверждение [2] и для Д. н. (неравенство Чаплы г. <и н а)

Здесь оценки типа (2) для решений, удовлетворяющих при х=х ₀ одинаковым начальным условиям, гарантируются лишь на интервале, определяемом коэффициентами a₁, ... , а _т:напр., для Д. н. y"+y>f(x)это интервал [ х ₀-p, х ₀+p]. Для системы Д. н.

было указано [3], что если каждая функция f_i не yбывает по аргументам то имеет место оценка

подобная (2). Развитие этих рассмотрений приводит к теории Д. н. в пространствах с конусом.

Разновидностью Д. н. является требование знакопостоянства полной производной от заданной функции

применяемое в теории устойчивости.

Представителем другой группы является Д. н.

(3)

(e>0 задано), исследованное впервые в связи с общей концепцией о приближенном описании реальной задачи дифференциальными уравнениями [4]. Здесь интересно описание интегральной воронки, т. е. совокупности всех точек всех решений, удовлетворяющих заданным начальным условиям, в частности поведение воронки при Естественным обобщением Д. н. (3)является дифференциальное уравнение в контингенциях, к-рое задается с помощью поля конусов, обобщающего понятие поля направлений.

Для Д. н. изучалась и теория краевых задач. Д. н. (А- оператор Лапласа) определяет субгармонические функции, Д. н. определяет субпараболические функции. Рассматривались и более общего вида Д. н. (обеим упомянутых выше групп) с частными производными для дифференциальных операторов различных типов.

Лит.: [1] Petrovitsch M., "Math. Ann.", 1901, Bd 54 №3, S. 417-36; [2] Чаплыгин С. А., Основания нового способа приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М., 1919; [3] Wazewski Т., "Ann. Soc. polon math.", 1950, t. 23, p. 112-66; [4] Bohl P., "J. reine und angew Math.", 1914, Bd 144, S. 284 - 313; [5] Haar А., в кн.: "Att del Congresso Internazionale dei Mathematici. Bologna". 1928 t. 3, Bologna, 1930, p. 5-10; [6] Walter W., Differential und Integral-Ungleichungen und ihre Anwendung bei Abschat zungs- und Eindeutigkeitsproblemen, В., 1964; [7] Szarski J., Differential inequalities, Wars., 1965; [8] Lakshmikantham V., Leela S., Differential and integra inequalities, v. 1 -2, N. Y., 1969.

А. Д. Мышкис