ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Значение ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в математической энциклопедии:

на аналитических пространствах - обобщение классич. исчисления дифференциальных форм и дифференциальных операторов на случай аналитич. ространств. Об исчислении дифференциальных форм на комплексных многообразиях см. Дифференциальная форма. Пусть - аналитич. ространство над полем k,D.- диагональ в XxX, J - пучок идеалов, определяющий D и порожденный всеми ростками вида p₁^*f-p₂^*f, где f - произвольный росток из p_i:

Xx Х->Х - проекция на i-й сомножитель.

Аналитич. пучок p₁(J/J²)=Qx наз. пучком аналитических дифференциальных форм первой степени на X. Если f - росток аналитич. функции на X, то росток p₁^*f-p₂^*f, принадлежит J и определяет элемент df пучка W¹_X, p₁(J/J²), называемый дифференциалом ростка f. Тем самым определяется гомоморфизм пучков векторных пространств d :. Если Х=kⁿ, то W¹_X- свобод-

ный пучок, порожденный dx_x, ... , dx_п, где х ₁, ..., х _п- координаты в kⁿ. Если X- аналитич. одпространство в kⁿ, определяемое пучком идеалов J, то

С каждым аналитич. отображением f: X->Y можно связать пучок относительных дифференциалов W¹_X. Это - аналитич. учок W¹_X/Y, индуцирующий W¹_Xs на каждом слое отображения f; он определяется из точной последовательности

Пучок наз. пучком ростков аналитических векторных полей на X. Если X- многообразие, то и Q_X - локально свободные пучки, естественно изоморфные пучкам ростков аналитич. сечений кокасательного и касательного расслоений над Xсоответственно.

Аналитич. пучки наз. пучками аналитических внешних дифференциальных форм степени рна X (при k= С их наз. также голоморфными формами). Для всякого определяется гомоморфизм пучков векторных пространств dp: совпадающий при р=0 с введенным выше и удовлетворяющий условию d^p+1d^P= 0. Комплекс пучков (W*_X, d)наз. комплексом де Рама пространства X. Если X- многообразие и k=С или R, то комплекс де Рама является точным комплексом пучков. Если X многообразие Штейна или вещественное аналитич. многообразие, то когомологии комплекса сечений Г(W^*_X), часто также называемого комплексом де Рама, изоморфны Н ^Р( Х, к).

Если Xимеет особые точки, то комплекс де Рама не обязан быть точным. В случае, когда к = С, достаточным условием точности комплекса де Рама в точке хО Х является наличие у хкомплексно аналитически стягиваемой окрестности. Гипергомологии комплекса Г(W^*_X) при k=С содержат когомологии пространства Xс коэффициентами в С в качестве прямого слагаемого и совпадают с ними, если Xгладко. Сечения пучка Q_X наз. аналитическими (а при k=С также голоморфными) векторными полями на X. Поле определяет для любого открытого дифференцирование алгебры ацалитич. функций действующее по формуле = Z(dj). Если к=С или R, то Zзадает локальную однопараметрич. группу expt Zавтоморфизмов пространства X. Если при этом Xкомпактно, то группа expt Zопределима глобально.

Пространство Г(Х, Q_X), снабженное скобкой Ли, является алгеброй Ли над к. Если X- компактное комплексное пространство, то Г( Х,Q_X)- алгебра Ли группы Aut X.

Дифференциальные операторы на аналитич. ространстве (X,Q_X). определяются аналогично дифференциальным операторам модуля. Если F, G- аналитич. учки на Х, толинейным дифференциальным оператором порядка <l, действующим из Fв G, наз. гомоморфизм пучков векторных пространств продолжающийся до аналитич. омоморфизма Если Xгладко, a Fи Gлокально свободны, то это определение приводит к обычному понятию дифференциального оператора на векторном расслоении [3], [4].

Ростки линейных дифференциальных операторов образуют аналитич. учок Diff(F, G)с фильтрацией

где Diff^l(F, G)- пучок ростков операторов порядка <1. В частности, - фильтрованный пучок ассоциативных алгебр над котносительно композиции отображений. Имеем

Изучение пучка проведено (в негладком случае) лишь для нек-рых специальных типов особых точек. В частности, в случае неприводимого одномерного комплексного пространства Xдоказано, что пучок алгебр и соответствующий пучок градуированных алгебр допускают конечные системы образующих [5].

Лит.:[1] Malgrange В., "Enseign. math.", 1968, ser. 2, t. 14, № 1, p. 1-20; [2] Коup W., "Math. Ann.", 1965, Bd 160, № 1, S. 72-92; [3] Шварц Л., Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными, пер. с нем., М., 1964; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] Вlооm Т п., "Rice Univ. Stud.", 1973, v. 59, № 2, p. 13-19; [6] Веrger R., [u. a.], Differentialrechnung in der anaytilschen Geometrie, В.- Hdlb.-N. Y., 1967; [7] Fisсher G., Complex analytic geometry. В.- Hdlb.- N. Y., 1976.

Д. А. Пономарев.