ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Значение ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ в математической энциклопедии:

в статистической механике - системы, микроскопич. состояния к-рых определяются заданием состояний в каждом из узлов фиксированной пространственной решетки. С точки зрения приложений - это модели твердого тела, в к-рых одно из микроскопич. движений, связанное с изменением состояний в узлах решетки, выделено и считается независимым от других. Одна из наиболее простых Д. с- модель Изинга (1925) - характеризуется галшльтонианом

где i=r_i- координаты узлов решетки, s_i= ±1.

Эта модель используется для исследования сплавов типа замещения, магнетиков, решетчатого газа и др. Для Д. с. такого типа характерно наличие в них при температуре ниже l-точки дальнего порядка - общей регулярности в направлении спинов s_i магнетиков или регулярности в чередовании атомов различного сорта в бинарных сплавах, к-рая при повышении температуры пропадает в точке q_l (точке l-перехода) с характерным выбросом теплоемкости c_u, в то время как ближний порядок - корреляция отдельного узла с окружающими его узлами - такого резкого изменения не претерпевает. Качественное описание явлений упорядочения укладывается в теорию типа теории молекулярного поля. Несмотря на математич. простоту модели, точное решение в общем виде получено только для одномерной модели и для плоской ферромагнитной решетки (J(i, j)>0) с взаимодействием только ближайших соседей и в случае h=0. Одномерная модель фазового перехода не претерпевает, а двухмерная имеет особенность теплоемкости логарифмич. типа (принципиально в случае N стремится к бесконечности). Для общего случая разработаны приближенные методы в области низких и высоких температур.

Из других моделей распространена модель магнетиков Гейзенберга, гамильтониан к-рой отличен от гамильтониана модели Изинга тем, что числа s_i заменены на s_i^z, а произведение s_is_j - на (s_i, s_j), где s_i - спиновые Паyли матрицы.

Целый класс Д. с. с определенным типом взаимодействия узлов решетки допускает асимптотически точное при рассмотрение с помощью метода аппроксимирующих гамильтонианов [3].

Лит.:[1] ХуангК., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; [2] Займан Дж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., М., 1966; [3] Боголюбовы. Н. (мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М., 1974.

И. А. Квасников.