ДИСКРЕТНАЯ ГРУППА

Значение ДИСКРЕТНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

преобразований- группа Г гомеоморфизмов хаусдорфова топологич. пространства X, удовлетворяющая следующему условию: для любых точек х,найдутся такие их окрестно-

сти U, V соответственно, что множество

конечно. Стабилизатор

точки относительно Д. г. преобразований конечен, а орбита любой точки дискретна. В случае, когда X- метрическое пространство и преобразования из Г являются изометриями, этих двух условий достаточно для того, чтобы группа Г была Д. г. преобразований. Примеры. 1) Гр5^г ппа параллельных переносов действительной плоскости R² на всевозможные целочисленные векторы:

2) Пусть X- верхняя комплексная полуплоскость

рассматриваемая в обычной хаусдорфовой топологии, а Г - группа дробно-линейных преобразований вида

где а, b, с, d- целые числа и ad-bс=1 (модулярная группа Клейна).

3) Любая конечная группа Г гомеоморфизмов хаусдорфова топологич. пространства X. Если Xотделимо, то Г будет собственно разрывной группой преобразований (пример неприводимого алгебраич. многообразия с топологией Зариского показывает, что условие отделимости А' является существенным).

4) Скольжений группа произвольного регулярного накрытия р: X->Y, где X- связное и локально линейно связное, a Y- хаусдорфово топологич. пространство, является Д. г. преобразований действующей свободно (т. е. Г _х={1} для любой ), причем само накрытие рсовпадает с отображением факторизации по этой группе. Обратно, если Г - свободно действующая Д. г. преобразований связного топологич. пространства X, то факторпространство Х/Г хаусдорфово и отображение факторизации р:- регулярное накрытие пространства Х/Г с группой скольжения Г. В частности, в силу теоремы униформизации Пуанкаре - Кёбе, всякая риманова поверхность, за несколькими тривиальными исключениями, может быть получена факторизацией верхней комплексной полуплоскости С + по свободно действующей Д. г. дробно-линейных преобразований с действительными коэффициентами (так наз. фуксовой группе).

5) В теории модулей римановых поверхностей (и, более общо, модулей комплексных многообразий того или иного типа) Д. г. преобразований появляются как модулярные группы. Простейшая из этих групп рассмотрена в примере 2.

6) К числу Д. г. преобразований относятся кристаллографические группы. Весьма широкий класс Д. г. преобразований, включающий фуксовы и кристаллографич. группы, составляют дискретные подгруппы топологич. групп (в частности, групп Ли), рассматриваемые как группы преобразований однородных пространств.

Замкнутое подмножество Dтопологич. пространства Xс Д. г. Г преобразований наз. фундаментальной областью группы Г, если оно является замыканием открытого подмножества и если множества y(D), где не имеют попарно общих внутренних точек и образуют локально конечное покрытие пространства X. Так, напр., для группы параллельных переносов из примера 1 в качестве фундаментальной области можно взять квадрат

или, более общо, любой параллелограмм с вершинами в целых точках, не имеющий целых точек внутри и на сторонах, а для модулярной группы Клейна (пример 2)) -так наз. модулярную фигуру

Фундаментальная область может быть построена во многих случаях. Напр., если X- полное риманово многообразие, Г - Д. г. преобразований пространства X, состоящая из изометрий этого пространства, и - какая-либо точка, для к-рой стабилизатор тривиален, то в качестве фундаментальной области может быть взята область Дирихле

(Здесь через d(x, у )обозначено расстояние между точками x и у из X.) Если X- односвязное полное пространство постоянной кривизны, т. е. сфера, евклидово пространство или пространство Лобачевского, то область Дирихле является выпуклым многогранником. Построение фундаментальной области и исследование ее свойств доставляют важную информацию о Д. г. преобразований. Так, факторпространство Х/Г получается из фундаментальной области путем "склеивания" нек-рых граничных точек. Напр., для группы параллельных переносов (пример 1)) факторпространство получается из квадрата (*) склеиванием противоположных сторон и гомеоморфно двумерному тору. Понятие фундаментальной области лежит в основе комбинаторно-геометрического метода в теории Д. г. преобразований, восходящего к работам А. Пуанкаре по фуксовым [1] и клейновым [2] группам. Этот метод позволяет, с одной стороны, выяснить строение Д. г. преобразований как абстрактной группы (т. е. найти ее образующие и определяющие соотношения) и, с другой стороны, доказать дискретность и найти фундаментальную область группы преобразований с данными образующими. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть Г - Д. г. изометрий n-мерного односвязного полного пространства Xпостоянной кривизны и Ф - выпуклый многогранник, являющийся ее фундаментальной областью. Тогда группа Г порождается множеством

При этом в качестве определяющих соотношений могут быть взяты всевозможные соотношения следующих двух типов: g₁,g₂=1, где g₁, g₁. и g₁, g₂...g_k=1, где g₁, g₂, ...,g_k ОM,

при i= l, 2, ... , k-1 и при l<k (см. [7], [3], [6]). Обратно, пусть Ф - выпуклый многогранник в re-мерном односвязном полном пространстве Xпостоянной кривизны (не исключается вырожденный случай, когда некоторые двугранные углы многогранника Ф равны л), и для каждой (п-1)-мерной грани Fмногогранника Ф задана изометрия ,g_F. пространства Xтакая, что И пусть: (1) для каждой (n-1)-мерной грани Fмногогранника Ф существует такая грань F', что ,g_F,g_F'= 1; (2) для каждой (п-2)-мерной грани Емногогранника Ф существует такая последовательность F₁, F₂,... , F_k его (n-1)-мерных граней, что ,g_F1,g_F2...,g_Fk=1,

и многогранники Ф, ,g_F1 (Ф),,g_F1,g_F2 (Ф), ... , ,g_F1,g_F2... ,g_Fk-1 (Ф) не имеют попарно общих внутренних точек.

Тогда группа изометрий пространства X, порожденная преобразованиями у, дискретна и многогранник Ф является ее фундаментальной областью. Это вытекает из более общего результата А. Д. Александрова [4] о заполнении пространства выпуклыми многогранниками (см. также [8]). Следующее описание свободно действующих фуксовых групп с компактным факторпространством, принадлежащее А. Пуанкаре (Н. Poincare), служит примером сказанного выше. При этом считается, что верхняя комплексная полуплоскость С ⁺ наделена стандартным образом геометрией Лобачевского (модель Пуанкаре плоскости Лобачевского).

Фундаментальная область любой из фуксовых групп рассматриваемого типа может быть выбрана в виде выпуклого ограниченного 4g-угольника Ф, обладающего свойствами: а) сумма его внутренних углов равна 2,p; б) если при фиксированном направлении обхода границы дФ многоугольника Ф обозначить его стороны через b₁, b₂, d₁, d₂, b₃, b₄, d₃, d₄, ..., b_2g-1, b_2g, d_2g-1, d_2g, то длина b;равна длине d_i при всех i=l, 2, . . . , 2g. На рисунке изображена такая область Дирихле для g=3. Если при этом обозначить через ,g_i, i=l, . . ., 2g, изометрию плоскости С + , сохраняющую ориентацию и переводящую с изменением направления b_i в d_i при i четном и d_i в b_i при iнечетном (считается, что стороны Ф имеют направления, индуцированные выбранным направлением обхода дФ), то набор {g₁, g₂, ..., g_2g} является системой образующих группы Г. Единственное соотношение между этими образующими имеет вид

Обратно, если Ф - произвольный выпуклый ограниченный многоугольник, удовлетворяющий условиям а) и б), то группа Г, порожденная изометрнями g₁,g₂,... , g_2g, есть свободно действующая фуксова группа, причем Ф - ее фундаментальная область, а комплексное многообразие является компактной римановой поверхностью рода g.

Когомологич. теория Д. г. преобразований состоит в изучении связи между когомологиями пространства X, пространства Х/Г и группы Г. В частности (пример 4)) если Г - Д. г. преобразований, являющаяся группой скольжений регулярного накрытия р: Х ->Х/Г, где X - ациклическое топологич. пространство (т. е. Н _n (Х) = 0 при и H₀(X) = Z), то сингулярные когомологии пространства Х/Г и когомологии Г как абстрактной группы с коэффициентами в абелевой группе А(с тривиальной Г-модульной структурой) связаны некоторыми изоморфизмами естественными по А(см. [10]). В общем случае связь между упомянутыми выше группами когомологии выражается при помощи некоторых спектральных последовательностей (см. [9], [10]).

См. также Автоморфная форма, Автоморфная функция, Арифметическая группа.

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избр. тр., т. 3, М., 1974, с. 9-62; [2] Роinсаre Н., "Acta math.", 1883, t. 3, p. 49- 92; [3] Gerstenhaber M., "Proc. Amer. Math. Soc", 1953; v. 4, p. 745-50; [4] Александров А. Д., "Вестник ЛГУ", 1954, №2, с. 34-43; [5] Coxeter Н. S. М., Моser W. O. J., Generators and relations for discrete groups, B.- Hdlb.-N. Y., 1972; [6] Вейль А., "Математика", 1963, т. 7, № 1, с. 3-12; [7] Macbeath A.M., "Ann. Math.", 1964, y. 79, p. 473-88; [8] Abels H., Geometrische Erzeugung von diskontinuierlichen Gruppen, Miinster, 1966; [9] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [10] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [11] Lehner J., Discontinuous grotips and automorphic functions, Providence, 1964; [12] Cepp Ж.-П., "Математика". 1971, т. 15, № 5, с. 3-6.

Д. Б. Винберг, В. Л. Попов.