ДИРАКА УРАВНЕНИЕ

Значение ДИРАКА УРАВНЕНИЕ в математической энциклопедии:

- релятивистское волновое уравнение, играющее фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля. Д. у. применяется для описания частиц со спином ¹/₂ (в единицах ); то есть электронов, нейтрино, мюонов, протонов, нейтронов и др., а также позитронов и всех др. античастиц и гипотетических субчастиц - кварков. Д. у. является основой теории частиц полуцелого спина (¹/₂, ³/₂, ⁵/₂ и т. д.), то естьфермионов, к-рые подчиняются Ферми статистике. Напр., обобщением Д. у. для частиц спина ³/₂ является Рарита - Швингера уравнение.

Д. у. есть система четырех линейных однородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами, инвариантная относительно общей группы преобразований Лоренца:

где то - масса покоя, х ^а=х ^а, х ¹, х ², x³ ОR

с псевдоевклидовой метрикой ( х, y)=h_abdx^ax^ady^b, a

- метрический тензор пространства Минковского с сигнатурой +2; y- Дирака спинор (биспинор):

ga=g⁰, g¹, g², g³- Дирака матрицы.

При преобразованиях переменных из общей группы Лоренца - Пуанкаре х'^a=L (х ^a )(см. [2]) биспинор y преобразуется по формуле y'(x')=S(L)y(x), где S(L)- неособенная комплексная матрица размерности S-матрицы образуют специальное двузначное представление группы L. Д. у. относительно новых переменных y'( х'^a )не изменяет своего вида (релятивистская инвариантность):

Случай m=0 дает уравнение Вейля, описывающее нейтрино. При этом Д. у. разбивается на два независимых уравнения для спинорных функций (спиноров Ван дер Вардена) j=(y₁, y₂ )и c⁼(y₃, y₄)- Каждое из них будет не инвариантным относительно отражений (теория с несохраненпем четности).

Любое решение Д. у. удовлетворяет Клейна- Гордона уравнению, описывающему бесспиновые скалярные частицы

но не всякое решение этого уравнения удовлетворяет Д. у., к-рое получается факторизацией уравнения Клейна - Гордона.

Из Д. у. следует факт наличия у электрона собственного механического спинового момента Д. у. полностью описывает движение атомных электронов в поле ядра и в других электромагнитных полях, а также взаимодействие электрона с известными элементарными частицами.

Любое релятивистски инвариантное уравнение можно представить в форме Д. у.:

где Г ^a- обобщение g^a. Для уравнения Клейна - Гордона функция yимеет 5 компонент, а Г ^a- 4 пятирядные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

(Дуффина - Кеммера матрицы).

Подобно тому как взаимодействие фермионов с электромагнитным полем учитывается в Д. у. заменой производной д/дх ^а на компенсирующую производную д/дх^a-iA_a(A_a-4-потенциал электромагнитного поля), учет взаимодействия фермионов с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности приводит к обобщению Д. у. на риманово пространство введением соответствующей компенсирующей (ковариантной) производной (см. [3]):

где С _a- спинорные коэффициенты связности, определенные сначала с помощью тетрадного формализма, удовлетворяющие соотношениям

- символы Кристоффеля. Общерелятивистское обобщение Д. у. необходимо при исследовании гравитационного коллапса, при описании предсказываемого эффекта рождения частиц в сильных гравитационных полях и др.

В пространстве с кручением в Д. у. возникает нелинейный добавок кубического типа (см. [4]) и оно переходит в нелинейное уравнение

где g=ig₅, l²=3pGh/c³, G- гравитационная постоянная.

Уравнение установлено П. Дираком (P. Dirac, 1928).

Лит.:[1] Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; [2] Боголюбова Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 2 изд., М., 1976; [3] Новейшие проблемы гравитации, пер. с англ., М., 1961; [4] Родичев В. И., "Ж. эксперим. и теор. физ.", 1969, т. 40.

В. Г. Кречет.