ДИОФАНТОВА ГЕОМЕТРИЯ

Значение ДИОФАНТОВА ГЕОМЕТРИЯ в математической энциклопедии:

диофантов анализ,- область математики, посвященная изучению целочисленных и рациональных решений систем алгебраич. уравнений, или, иначе, изучению диофантовых уравнений, методами алгебраич. геометрии. Появление во 2-й пол. 19 в. теории алгебраич. чисел сделало естественным изучение диофантовых уравнений с коэффициентами из произвольного поля алгебраич. чисел, причем решения ищутся или в этом поле, или же в его кольце целых элементов. Параллельно с теорией алгебраич. чисел развивалась и теория алгебраических функций. Глубокая аналогия между ними, подчеркивавшаяся Д. Гильбертом (D. Hilbert) п особенно Л. Кронекером (L. Kronecker), привела к единообразному построению различных арифметич. теорий для этих двух типов полей (см. [3]), называемых обычно глобальными полями. Особенно отчетливо эта аналогия проступает в том случае, когда в качестве алгебраич. функций рассматриваются функции одного переменного и с конечным полем констант. Хорошей иллюстрацией тому служат такие понятия как дивизоры, ветвление и такие результаты как теория полей классов. Проникновение этой точки зрения в теорию диофантовых уравнений произошло позднее, и систематич. рассмотрение диофантовых уравнений не только с числовыми, но и с функциональными коэффициентами началось только в 50-х гг. 20 в. Решающее влияние оказало на это развитие алгебраич. геометрии. Одновременное рассмотрение числовых и функциональных полей, выступающих как две равноправные стороны одного и того же предмета, не только приводит к красоте и законченности результатов, но и взаимно обогащает оба аспекта (см. [3]).

В алгебраич. геометрии неинвариантное понятие системы уравнений заменяется понятием алгебраического многообразия над заданным полем К, а место решений занимают рациональные точки со значениями в поле Кили его конечном расширении. Поэтому можно сказать, что основная задача диофантовой геометрии состоит в изучении множества Х(К). рациональных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем Куказанного выше вида. Целочисленные решения диофантовых уравнений также имеют геометрич. смысл.

При изучении рациональных (или целых) точек на алгебраич. многообразиях прежде всего возникает вопрос о существовании хотя бы одной такой точки. Десятая проблема Гильберта сформулирована как задача нахождения общего метода, позволяющего решать этот вопрос для любого алгебраич. многообразия. После появления точного понятия алгоритма и доказательства алгоритмич. неразрешимости целого ряда задач стало ясно, что проблема Гильберта может иметь и отрицательное решение (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и наиболее интересным является вопрос о том, для каких классов диофантовых уравнений такой алгоритм существует. Известно несколько общих подходов к этой задаче. Наиболее естественным с алгебраич. точки зрения является так наз. принцип Хассе. Он состоит в рассмотрении наряду с исходным полем Кего пополнений K_v. по всевозможным нормированиям. Поскольку X(K)МX(K_V), то необходимым условием существования К- рациональной точки является непустота множеств X(K_v )для всех v. Значение принципа Хассе состоит в том, что он сводит вопрос о существовании точки к аналогичному вопросу над локальным полем. Последняя задача существенно проще - для нее известен алгоритм, а в частном важном случае, когда многообразие Xпроективно и неособо, Гензеля лемма и ее обобщения позволяют произвести дальнейшую редукцию и свести все к изучению рациональных точек над конечным полем, где задача решается или последовательным перебором, или более совершенными средствами (см. Алгебраических многообразий арифметика;см. также [2],. [12]). Последнее существенное обстоятельство, связанное с принципом Хассе, состоит в том, что для всех v, кроме конечного числа, множества X(K_V )непусты, так что число условий всегда конечно, и они могут быть эффективно проверены (см. [2]). Но уже для кривых 3-й степени принцип Хассе неприменим. Так, кривая 3x³+4у³=5 имеет точки во всех полях р-адических чисел и в поле действительных чисел, но не имеет рациональной точки (см. [2], [7]). Этот пример послужил отправным пунктом для создания теории, описывающей "отклонение" от принципа Хассе в классе главных однородных пространств абелевых многообразий (см. [7], [10]). Это отклонение описывается в терминах специальной группы Ш, сопоставляемой каждому абелеву многообразию (группа Тейта - Шафаревича). Основную трудность теории составляет отсутствие способов вычисления группы Ш, к-рая (к 1978) не вычислена ни для одного многообразия. Эта теория распространена и на другие классы алгебраич. многообразий (см. [11]).

Другое эвристическое соображение, используемое при изучении диофантовых уравнений, состоит в том, что если число переменных, входящих в систему уравнений, велико по сравнению со степенью, то система, как правило, имеет решение. Однако доказать это в тех или иных случаях бывает очень трудно. Единственный общий подход к задачам такого типа принадлежит аналитич. теории чисел и основан на применении оценок тригонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод, Виноградова метод;см. также [4]). Первоначально этот метод применялся к уравнениям довольно частного вида (напр., к Варинга проблеме). Но в дальнейшем с его помощью было доказано, что если F- форма нечетной степени dот и переменных и с рациональными коэффициентами, то при п, достаточно большом по сравнению с d, проективная гиперповерхность F=0 имеет рациональную точку (см. [2]). Имеется гипотеза Артина, утверждающая, что этот результат справедлив уже при п>d² (см. [2], [10]). Она доказана (к 1978) только для квадратичных форм. Аналогичные вопросы можно ставить и для других полей. В частности, о результатах, полученных для локальных полей, см. Алгебраических многообразий арифметика;см. также [5]. Центральной лроблемой Д. г. является изучение структуры множества рациональных или целых точек и прежде всего выяснение вопроса о том, конечно оно или нет. В этой последней задаче основное эвристическое предположение состоит в том, что если степень системы намного больше числа переменных, то система имеет, как правило, конечное число решений (см. [10]). В отличие от рассмотренной выше задачи о разрешимости, никаких общих результатов (к 1978) в этом направлении нет. Наибольшее число исследований посвящено случаю алгебраич. кривых. Оказалось, что строение множества рациональных точек Х(К)кривой X, определенной над полем К, сильно зависит от ее рода g. Если g=0, то либо множество Х(К)пусто, либо кривая Xбирационально эквивалентна над полем Кпроективной прямой. Последнее означает, что множество Х(К)бесконечно, и существует параметризация его рациональными функциями нек-рой переменной со значениями из поля К(см. [7], [13], [1]). Кривые рода g=1 с непустым множеством X(К)рассматривались в 1901 А. Пуанкаре (Н. Роincare), к-рый показал, что они бирационально эквивалентны плоским кубич. кривым, и ввел на множестве Х(К)структуру абелевой группы (см. Эллиптическая кривая;см. также [1], [7]). Гипотеза Пуанкаре о том, что при K=Q группа имеет конечное число образующих, доказана К. Морделлом (К. Mordell, 1922) (см. [15]). Это было обобщено А. Вейлем (A. Weil, 1928) на произвольные поля алгебраических чисел и А. Нероном (A. Neron, 1952) на любые глобальные поля (см. [81).

Группу X(К)можно представить в виде прямой суммы свободной группы ранга г и конечной группы порядка п. Вопрос о том, ограничены ли эти числа на множестве всех эллиптич. кривых над данным полем К, привлекал внимание начиная с 30-х гг. (см. [7]). Ограниченность кручения пдоказана в 1971. В функциональном случае существуют кривые сколь угодно большого ранга (см. [12]). В числовом случае ответ (к 1978) неизвестен.

Наконец, в случае кривой рода g>l имеется гипотеза Морделла о конечности числа рациональных точек (высказанная для K=Q;точную формулировку см. в [9]). В функциональном случае эта гипотеза доказана Ю. И. Маниным в 1963 (см. [12]). Если же основное поле - числовое, то гипотеза доказана для модулярных кривых. Все имеющиеся результаты дают конечность числа точек в не слишком больших расширениях основного поля (см. [12]).

Гораздо большие успехи достигнуты в изучении целых точек. Здесь имеется весьма общий метод диофантовых приближений, предложенный в 1909 А. Туэ (A. Thue) (см. [6], [8], [9], [13]). Он основан на следующем. Пусть - форма с рациональными коэффициентами и пусть имеется целочисленное решение ( х ₀, у ₀ )уравнения F(x, y)= с, с неравно 0. Тогда для нек-рого i

Если а - алгебраич. число степени то неравенство |a-p/q| <1/q^e имеет конечное число решений в целых ри qпри Отсюда следует конечность числа целых точек на кривых вида F(x, y) = c. С тех пор каждое продвижение в проблеме диофантовых приближений алгебраич. чисел давало соответствующие результаты для целых точек. Так была доказана в 1929 К. Зигелем (С. Siegel) теорема о конечности числа целых точек на любой кривой рода g>0. О дальнейших обобщениях этой теоремы на случай целых точек в произвольных глобальных полях см. также [9].

Основным технич. средством, используемым в доказательстве этих и других теорем конечности в Д. г., является высота (см. Высота в диофантовой геометрии).

Среди алгебраич. многообразий размерности >1 наиболее изучены абелевы многообразия, представляющие собой многомерный аналог эллиптических кривых. Обобщая теорему Морделла, А. Вейль перенес ее утверждение о конечности числа образующих группы рациональных точек на абелевы многообразия любой размерности (теорема Морделла - Вейля). В 60-х гг. появилась гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера, связывающая ранг этой группы с порядком полюса дзета-функции многообразия Xв точке dim X(см. [7], [12]). Несмотря на многочисленные аргументы в пользу этой гипотезы, никаких подходов к ее доказательству (к 1978) пока нет. Нет никакого продвижения (к 1978) и в гипотезах конечности для рациональных точек замкнутых подмногообразий и целых точек аффинных открытых подмножеств абелевых многообразий (см. [9], [10]).

Другой класс алгебраич. многообразий, для изучения к-рого имеются общие методы и подходы, состоит из многообразий вида

где F- форма, разложимая в нек-ром расширении основного поля на линейные множители. Для изучения целых точек на таких многообразиях имеются два метода. Первый - это отмеченный выше метод диофантовых приближений, созданный А. Туэ именно для уравнений такого вида, но с двумя переменными. Только в 1970 этот метод получил новое развитие: при помощи теоремы Шмидта о совместных приближениях было доказано, что число целых точек на многообразии (*) всегда конечно, если выполняется нек-рое легко проверяемое условие на форму F(его необходимость была известна ранее, см. [2]). Совсем другой метод, основанный на рассмотрении уравнения (*) в области целых р-адических чисел, был предложен в 1935 Т. Сколемом (см. [13]). Этим методом была доказана теорема конечности для уравнения (*) для небольших значений пили т(см. [2]).

Интенсивно исследуется еще один класс алгебраич. многообразий - рациональные и близкие к ним многообразия, являющиеся аналогом кривых рода 0. Получены многочисленные результаты об их классификации и о строении множества рациональных точек (см. [12]). В отличие от рассмотренных выше примеров, здесь все обстоит сложнее, и никаких общих теорем типа теорем Шмидта, Зигеля или Морделла - Вейля не найдено (к 1978).

Отличительной чертой почти всех отмеченных выше результатов является то, что они, раскрывая качественную картину множества рациональных или целых точек, не дают никаких количественных оценок, с помощью к-рых можно явно описать это множество. Получение подобных результатов, или, как говорят, эффект и визация качественных теорем, принадлежит к труднейшим задачам Д. г. и вообще теории чисел. Для случая теоремы Туэ такая эффективизация, полученная А. Бейкером (A. Baker) в 1968, состоит в явных оценках высот целых точек в зависимости от коэффициентов уравнения кривой (см. Диофантовых приближений проблемы эффективизации). Затем такая оценка была получена для широкого класса гиперэллиптич. кривых и, в частности, всех кривых рода 1 (см. [12]). Это дает для таких кривых алгоритм, позволяющий найти все целые точки, и тем самым выяснить, есть ли такая точка вообще. Как уже было отмечено, для любого диофантова уравнения такого алгоритма не существует.

Другим чрезвычайно интересным подходом к количественному описанию множества целых точек является развитие кругового метода Харди - Литлвуда. Распространение этого подхода на абелевы многообразия привело к появлению гипотез Берча и Суиннертон-Дайера (см. [15]), использование к-рых привело к построению алгоритма, дающего эффективизацию теоремы Морделла - Вейля. Есть все основания полагать, что дальнейшее развитие этого метода, а также установление его связи с теорией высоты будет иметь большое значение для решения основных проблем диофантовой геометрии.

Лит.:[1] Башмакова И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М., 1972; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Вейль А., "Математика", 1958, т. 2, № 4, с. 49-58; [4] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [5] Greenberg M., Lectures on forms in many variables, N. Y.- Amst., 1969; [в] Дэвенпорт Г., Высшая арифметика, пер. с англ., М., 1965; [7] Касселс Дж., "Математика", 1968, т. 12, № 1, с. 113-60; № 2, с. 1 - 48; [8] Коksma J. F., Diophantiscne Approximationen, В., 1936; [9] Lang S., Diophantine geometry, N. Y.-L., 1962; [10] Ленг С, "Математика", 1961, т. 5, № 6, с. 3-12; [11] Манин Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [12] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970, М., 1971, с. 111-51; [13] Skolem Th., Diophantische Gleichungen, В., 1938; [14] Swinnerton-Dyer H. P. F., в кн.: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, v. 20. 1969. Number theory institute, Providence, 1971, p. 1-52; [15] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969, гл. XII.

А. Н. Паршин.