" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ

Значение ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ в математической энциклопедии:

- метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества.

Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов.

Пусть М- двумерное риманово многообразие, К(х)- гауссова кривизна Мв точке х; а (Е)- площадь множества для кривизна:

абсолютная кривизна:

положительная часть кривизны множества Е:

где К ⁺(x) = max {0, К(х)}. Если х и у- две точки риманова пространства М, то r( х, у)- нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М.

Пусть М- произвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r - риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой.

Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик r_n, n=1, 2, . . ., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества будет равномерно (т. е. функции r_n( х, у )сходятся к функции r( х, у )равномерно на множестве ) и последовательность |w _п|. (A), n=1, 2, .. ., ограничена, где |w _п| - абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически.

В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где и последовательность римановых метрик r _п, n=1, 2, ..., определенных на Uтаким образом, что равномерно на V, и последовательность {w _п+(V)} ограничена.

Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)- площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от. <носительно s(Е). В Д. м. о. к. определено понятие поворота кривой - аналог понятия интегральной геодезич. кривизны кривой.

Всякая выпуклая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве есть Д. м. о. к. В этом случае кривизна множества всегда неотрицательна.

Д. м. о. к. допускают особенности типа конич. точек р(для таких точек w({р} )отлично от нуля), ребер, границы основания цилиндра и т. д.

Лит.:[1] Александров А. Д., Залгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, М.-Л., 1962; [2] Двумерные многообразия ограниченной кривизны, ч. 2, М.-Л., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР. т. 76).

Ю. Г. Решетняк.